第十届高二试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１３０　 一、选择 第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(B卷) 题 １．下列命题中是假命题的是(　　)． A．∃m ∈R,使f(x)＝ (m－１)􀅰xm２－４m＋３ 是幂函数 B．∀a＞０,函数f(x)＝ln２x＋lnx－a有零点 C．∃α,β∈R,使cos(α＋β)＝cosα＋cosβ D．∀φ∈R,函数f(x)＝sin(x＋φ)都不是偶函数 　 ２．过双曲线 M:x２－y ２ b２ ＝１ 的右顶点A作斜率为１的直线l,若l与双曲线M 的两 条渐近线分别相交于 B、C 两点,且 AB ＝ BC ,则双曲线 M 的离心率是 (　　)． A．１０　 B．５ C．１０３ 　 D． ５ ２ ３．在某校篮球队的首轮选拔测试中,参加测试的５名同学的投篮命中率分别为３５ , １ ２ ,２ ３ ,３ ４ ,１ ３ ,每人均有１０次投篮机会,至少投中六次才能晋级下一轮测试,假 设每人每次投篮相互独立,则晋级下一轮的人数大约为(　　)． A．２人 　 B．３人 　 C．４人 　 D．５人 ４．在某次抽奖活动中,一个口袋里装有５个白球和５个黑球,所有球除颜色外无任 何不同,每次从中摸出２个球,观察颜色后放回,若为同色,则中奖．则摸球三次 仅中奖一次的概率为(　　)． A．１００２４３　 B． ８０ ２４３ C． １２５ ７２９　 D． ４ ９ ５．已知二次函数f(x)＝ax２＋bx＋c的导数为f′(x),若f′(０)＞０,且对于任意 实数x都有f(x)≥０,则f (１) f′(０) 的最小值为(　　)． A．３　 B．５２ C．２　 D． ３ ２ ６．有一个扑克牌占卜运势游戏: 【游戏道具】两副扑克牌; 【游戏方法】任意排列两副扑克牌,使得两副扑克牌叠成一叠,然后从上到下把 １３１　 第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层 􀆺 如 此下去,直至最后只剩下一张牌,记录最后一张牌的牌号,与运势表对照． 【运势表(简略)】１．黑桃６:会给别人很好的印象;２．红桃６:某人正暗恋着你;３． 方块６:找到一线希望;４．梅花６:为彼此失和而苦恼． 某人摆弄每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红 桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按A,２,３,􀆺,J,Q,K的顺序排列． 他把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起成为一叠,按照上面的游戏规 则,最后可以得出他的运势是(　　)． A．会给别人很好的印象 　　 B．某人正暗恋着你 C．找到一线希望 　　　　　 D．为彼此失和而苦恼 ７．与正方体ABCD－A１B１C１D１ 的三条棱AB、CC１、A１D１ 所在直线的距离相等的 点有(　　)个． A．１　 B．２　 C．３　 D．无数 ８．若(x２＋３x－m)５ ＝a０＋a１x＋a２x２＋􀆺＋a１０x１０,其中m ∈Z,且a３ ＝３３０, 则(mx＋２０１４x ) ２０１４ 的展开式中所有项的系数和为(　　)． A．０　 B．２０１３２０１４ C．２０１５２０１４ D．２０１２２０１４ 二、填空题 ９．四人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过５次传球后,球仍回到甲 手中．则所有不同的传球方式的种数为 ． １０．在三棱锥O－ABC 中,三条棱OA,OB,OC 两两垂直,且OA ＞OB ＞OC,分别 经过三条棱OA,OB,OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S１, S２,S３,则S１,S２,S３ 的大小关系为 ． １１．双曲线x ２ a２ － y２ b２ ＝１ (a＞１,b＞０)的焦距为２c,直线l过点(a,０)和(０,b),且点 (１,０)到直线l的距离与点(－１,０)到直线l的距离之和s≥ ４５c ,则双曲线的离 心率e的最大值为 ． １２．已知数据x１,x２,x３,􀆺,x１０的平均数为６,标准差为 ２,则数据x１,x２,􀆺,x５的 平均数的取值范围是 ． １３．如图的实验装置是由两块互相垂直的正方形木板构成 的．已知两个正方形的边长都为１,在正方形ABCD 的 对角线AC 上有一滑片M,在正方形ABEF 的对角线 BF 上有一滑片N,无论两个滑片如何滑动,始终满足滑 片 M 到点C 的距离等于滑片N 到点B 的距离．则四面 体 M－ABN 体积的最大值为 ． !"#$! １３２　 １４．已知定义在R上的函数f(x)＝－x２－x４－x６(f′(x)是f(x)的导数),x１,x２, x３ ∈R且x１＋x２ ＜０,x２＋x３ ＜０,x３＋x１ ＜０,则f′(x１)＋f′(x２)＋f′(x３) 的值 ．(在“小于零、等于零、大于零”中选一个填上) １５．若 △ABC 沿三条中位线折起后能拼接成一个三棱锥,则称 △ABC 为“和谐三 角形”,设三个内角分别为A、B、C,则