第十届高二试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１２６　 一、选择 第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(A卷) 题 １．下列选项叙述错误的是(　　)． A．命题“若x≠１,则x２－３x＋２≠０”的逆否命题是“若x２－３x＋２＝０,则x ＝１” B．若命题p:∀x∈R,x２＋x＋１≠０,则􀱑P:∃x∈R,x２＋x＋１＝０ C．若p∨q为真命题,则p,q均为真命题 D．“x＞２”是“x２－３x＋２＞０”的充分不必要条件 ２．已知圆(x－a)２＋(y－b)２ ＝r２ 的圆心为抛物线y２ ＝４x的焦点,且与直线３x ＋４y＋２＝０相切,再由直线y＝x＋３上的一点向该圆引切线,则这条切线长的 最小值为(　　)． A．１　 B．２ ２　 C．３　 D．７ ３．对于正方体６个面的中心,甲从这６个点中任意选三个点顺次连接构成三角形, 乙也从这６个点中任意选三个点顺次连接构成三角形,则这两个三角形全等的 概率为(　　)． A．４２５　 B． ９ ２５ C． １３ ２５　 D． １８ ２５ ４．已知椭圆x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝１ (a＞b＞０)和抛物线y２＝２px(p＞０)相交于A、B两点, 直线AB 过抛物线的焦点F１,且|AB|＝８,椭圆的离心率为 ２２． 则抛物线和椭 圆的标准方程分别为(　　)． A．y２ ＝８x;x ２ ９ ＋ y２ ４ ＝１　　　 B．y ２ ＝８x;x ２ ３６＋ y２ １８＝１ C．y２ ＝４x;x ２ ９ ＋ y２ ４ ＝１　　　 D．y ２ ＝４x;x ２ ３６＋ y２ １８＝１ ５．若(３x－１)２５ ＝a０＋a１x＋a２x２＋􀆺＋a２５x２５,则|a０|－|a１|＋|a２|－|a３|＋ 􀆺＋|a２４|－|a２５|＝ (　　)． A．２２５　 B．４２５　 C．－４２５　 D．－２２５ ６．过正方体ABCD－A１B１C１D１的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA１所成角 都相等,这样的直线l可以作(　　)条． A．１　 B．２　 C．３ D．４ １２７　 ７．甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止,每次投篮甲投中的概率为 ０．４,乙投中的概率为０．６,且不受其他投篮结果的影响,设甲投篮的次数为ξ,若 甲先投,则P(ξ＝k)＝ (　　)． A．０．６k－１×０．４ B．０．２４k－１×０．７６　C．０．４k－１×０．６　D．０．７６k－１×０．２４ ８．已知随机变量X ~B(２０,１３ ),若使P(X ＝k)的值最大,则k＝ (　　)． A．６或７　 B．７或８　 C．５或６　 D．７ 二、填空题 ９．７个相异自然数的平均数为１２,中位数为１８,这７个自然数中最大的数最大可能 是 ． １０．在区间 －π２ ,π ２[ ]内任取的一个实数x在函数y＝２sin(２x＋ π ６ )减区间内的概 率为 ． １１．已知正实数a,b,c,d满足a＋b＋c＋d＝１,则 １a＋b＋c＋ １ b＋c＋d＋ １ c＋d＋a ＋ １d＋a＋b 的最小值是 ． １２．(１)１０块相同的巧克力,每天至少吃一块,５天吃完,有 种方法; (２)１０块相同的巧克力,每天至少吃一块,直到吃完为止又有 种方法． (用数字作答) １３．设F为抛物线y２＝４x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA→＋FB→＋FC→＝ ０,则 FA→ ＋ FB→ ＋ FC→ ＝ ． １４．为了发展学校书法教育特色,某中学在高二年级段开设了书法选修课,同学们 踊跃参与,其中高二(８)班有２０名同学(包括班长)报名参加．由于活动规模有 限,因此学校对报名人员进行了筛选,对２０名同学,有下列论断,其中有且只有 一个是真的: A．２０名同学有人成功选入书法课学习; B．２０名同学有人没有选入书法课学习; C．班长没有选入书法课学习． 根据上面的推断,则以下论断中正确的有 ． ①２０名同学均成功选入书法课学习; ②２０名同学均没能选入书法课学习; ③ 高二(８)班只有一个人选入书法课学习; ④２０名同学只有一个人没选入书法课学习． １５．设e１,e２,e３ 与e４ 是某平面内的四个单位向量,其中e１ ⊥e２,e３ 与e４ 的夹角为 １３５°．对于这个平面内任意一个向量a＝xe１＋ye２,规定向量a经过一次“斜二 !"#$! １２８　 测变换”得到向量a１ ＝xe３＋y２e４ ,设向量v＝３e１－４e２,则向量v经过一次 “斜二测变换”得到的向量v１ 的模为 ． １６．有四根长都为２的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点 处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围是 ． 三、解答题 １７．某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T(单位:年)有关,若T ≤１,则销售利润为０元;若１＜T≤３,则销售利润为２００元;若T＞３,则销售 利润为４００元．设每台