第九届高二试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１２２　 一、选择题 １．设a 第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(B卷) ＝∫ π ０ sinx＋cosx( )dx,则二项式 a x－ １ x æ è ç ö ø ÷ ６ 的展开式中x２ 项的系数是 (　　)． A．－１９２　　　 B．１９３　　　 C．－６　　　 D．７ ２．变量x,y满足约束条件 x＋２y≥２, ２x＋y≤４, ４x－y≥－１． ì î í ï ï ïï 则目标函数z＝３x ＋ y－３ 的取值 范围是(　　)． A．３２ ,９[ ]　　　 B．３２,６[ ]　　　 C．２,９[ ]　　　 D．１,６[ ] ３．某班有４８名学生,在一次考试中统计出平均分为７０分,方差为７５,后来发现有２ 名同学的分数登错了,甲实得８０分却记成了５０分,乙实得７０分却记成了１００ 分,则更正后平均分和方差分别是(　　)． A．７０,５０　　　 B．７０,７５　 C．７０,７２．５　　　 D．６５,７０ ４．若正四面体SＧABC的底面 △ABC内有一动点P分别到平面SAB,平面SBC,平 面SAC 的距离成等差数列,则点P 的轨迹是(　　)． A．一个点 　　　 B．一条线段 　　 C．一段圆弧 　　　 D．抛物线的一段 ５．已知圆O 的半径为１,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两个切点,那么PA→􀅰 PB→ 的最小值为(　　)． A．－４＋ ２　　　 B．－３＋ ２　　 C．－４＋２ ２　　　 D．－３＋２ ２ ６．设离心率为e的双曲线C:x ２ a２－ y２ b２ ＝１a＞０ ,b＞０( )的右焦点为F,直线l过焦 点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)． A．k２－e２ ＞１　　　 B．k２－e２ ＜１　　 １２３　 C．e２－k２ ＞１　　　 D．e２－k２ ＜１ ７．在区间 －１,１[ ]上任取两数s和t,则关于x的方程x２＋sx＋t＝０的两根都是 正数的概率为(　　)． A．１４８　　　 B． １ ２４　　　 C． １ １２　　　 D． １ ４ ８．等比数列 an{ }中,a１ ＝２,a８＝４,函数f(x)＝x(x－a１)(x－a２)􀆺(x－a８),则 f′(０)＝ (　　)． A．２６　　　 B．２９　　　 C．２１２　　　 D．２１５ 二、填空题 ９．关于x的不等式组 x２－x－２＞０, ２x２＋(２k＋５)x＋５k＜０{ 的整数解的集合为 －２{ },则实数 k的取值范围为 ． １０．对大于或等于２的自然数m 的n次方幂有如下分解方式: ２２ ＝１＋３,３２ ＝１＋３＋５,４２ ＝１＋３＋５＋７ ２３ ＝３＋５,３３ ＝７＋９＋１１,４３ ＝１３＋１５＋１７＋１９ 根据上述分解规律,则５２ ＝１＋３＋５＋７＋９,若m３ m ∈N∗( )的分解中最小 的数是７３,则m 的值为 ． １１．设点A、B、C、D是半径为１的球面上的四个不同点,且满足AB→􀅰AC→ ＝０,AC→􀅰 AD→＝０,AB→􀅰AD→＝０,用S１、S２、S３分别表示 △ABC、△ACD、△ABD 的面积, 则S１＋S２＋S３ 的最大值是 ． １２．在定圆C:x２＋y２ ＝４内过点P(－１,１)作两条互相垂直的直线与圆C分别交 于点A、B和点M、N,则 ABMN ＋ MN AB 的范围是 ． １３．若函数f(x)＝loga x３－ax( ) a＞０且a≠１( )在区间 －１２ ,０æ è ç ö ø ÷内单调递增, 则a的取值范围是 ． １４．已知函数f(x)＝ sinπx(０≤x≤１), log２０１３x x＞１( )．{ 若a、b、c互不相等,且fa( )＝fb( )＝ fc( ),则a＋b＋c的取值范围是 ． １５．设数列 an{ }的前n项和为Sn,令Tn＝S１＋S２＋ 􀆺＋Sn n ,称Tn 为数列a１,a２, 􀆺,an 的“理想数”,已知a１,a２,􀆺,a５００ 的“理想数”为２００４,那么数列１３,a１, a２,􀆺,a５００ 的“理想数”为 ． １６．已知集合A、B、C(不必相异)的并集A∪B∪C＝ １,２,３,４,５{ },且１∈ (A∪ B),２∈ (B∪C),３∈ (C∪A),则满足条件的有序三元组(A,B,C)的个数是 个． !"#$! １２４　 三、解答题 １７．甲、乙两队各有n个队员,已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手 一次(同队的队员之间不握手),从这n２ 次握手中任意取两次．记事件A:两次 握手中恰好有４个队员参与;事件B:两次握手中恰好有３个队员参与． (１)当n＝４时,求事件A 发生的概率P(A); (２)若事件B发生的概率P(B)＜ １１０ ,求n的最小值． １８．已知函数f(x)＝x,函数g(x)＝λf(x)＋sinx是