第八届高二试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１１２　 一、选择题 １．已知命题p:“a＝１是x＞０,x＋ax ≥２ 的充分必要条件”,命题q:“∃x０ ∈R 第八届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(A卷) , x２０＋x０－２＞０”,则下列命题正确的是(　　)． A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∧ (┐q)”是真命题 C．命题“(┐p)∧q”是真命题 D．命题“(┐p)∧ (┐q)”是真命题 ２．已知直线l交椭圆４x２＋５y２＝８０于M、N两点,椭圆与y轴的正半轴交于B点, 若 △BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l的方程是(　　)． A．６x－５y－２８＝０ B．６x＋５y－２８＝０ C．５x＋６y－２８＝０ D．５x－６y－２８＝０ ３．有两个同心圆,在外圆周上有相异６个点,内圆周上有相异３个点,由这９个点决 定的直线至少有(　　)． A．３６条 B．３０条 C．２１条 D．１８条 ４．从编号分别为１,２,􀆺,９的９张卡片中任意抽取３张,将它们的编号从小到大依 次记为x、y、z,则y－x≥２且z－y≥２的概率是(　　)． A．１３ B． １ ４ C． ５ ２８ D． ５ １２ ５．若f(x)＝ ∑ ２０１２ k＝０ (－１)kCk２０１２(３－x)k ＝ ∑ ２０１２ i＝０ aix２０１２－i,则∑ ２０１２ k＝１ ak 的值为(　　)． A．２ B．０ C．－１ D．－２ ６．在周长为２４的 △PMN 中,MN ＝１０,则PM→􀅰PN→ 的取值范围是(　　)． A．[－１,２４] B．(０,２４) C．(０,２４] D．[－１,２４) ７．若关于x的不等式x２＋|x－a|＜２至少有一个正数解,则实数a的取值范围是 (　　)． A．－９４ ,２æ è ç ö ø ÷ B．－９４ ,９ ４ æ è ç ö ø ÷ C．－２,９４ æ è ç ö ø ÷ D．(－２,２) ８．平行六面体ABCD—A１B１C１D１ 的两个对角面ACC１A１ 与BDD１B１ 都是矩形, 则这个平行六面体是(　　)． A．正方体 B．长方体 C．直平行六面体 D．正四棱柱 二、填空题 ９．如 图 的 程 序 框 图 的 功 能 是 计 算 数 列 {an}前n 项 和 的 最 大 值S,则an ＝ １１３　 (第９题图) ,S＝ ． １０．设点O为 △ABC 的三条内角平分线的交点,当AB ＝AC＝５, BC ＝６时,AO→ ＝λAB→＋mBC→,其中λ,m ∈R,则复数λ＋mi ＝ ． １１．有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”:运算 符号紧跟在运算对象的后面,按照从左到右的顺序运算,如表 达式３×(x－２)＋７,其运算为:３,x,２,－,∗,７,＋,若计算机进 行运算:x,x,２,－,∗,lg,那么使此表达式有意义的x的范围是 ． １２．在区间[－１,１]上任取两数a、b,则二次方程x２＋ax＋b＝０的 两根都是正数的概率是 ． １３．设点F１、F２ 分别是椭圆x ２ ２５＋ y２ １６＝１ 的左、右焦点,点P为椭圆 上任一点,点 M 的坐标为(６,４),则|PM|＋|PF１|的最大值为 ． １４．已知样本９,１０,１１,x,y的平均数为１０,标准差是 ２,则xy ＝ ． １５．设直角三角形的两直角边的长分别为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有a ＋b＜c＋h成立,某同学通过类比得到如下四个结论:①a２＋b２＞c２＋h２;②a３ ＋b３ ＜c３＋h３;③a４＋b４ ＞c４＋h４;④a５＋b５ ＜c５＋h５．其中正确结论的序号 是 ;进一步类比得到的一般结论是 ． １６．已知函数f(１＋x)是定义域为R的偶函数,f(２)＝１２ ,则f(０)＝ ． f′(x)是f(x)的导函数,若对任意x∈R,使f′(x)＜ex 成立,则不等式f(x) ＜ex－１２ 的解集为 ． 三、解答题 １７．已知抛物线C１:x２＋by＝b２ 经过椭圆C２:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的两个焦点． (１)求椭圆C２ 的离心率; (２)设Q(３,b),又点M,N 为C１ 与C２ 不在y轴上的两个交点,若 △QMN 的重 心在抛物线C１ 上,求C１ 和C２ 的方程． !"#$! １１４　 １８．已知点集L＝{(x,y)|y＝m􀅰n},其中m＝(２x－１,１),n＝(１,２),点Pn(an, bn)∈L,P１ 为L与y 轴的公共点,等差数列{an}的公差为１． (１)求数列{an},{bn}的通项公式; (２)若Cn＝ ５n|P１Pn→| (n≥２),C１＝１,数列{Cn}的前n项和Sn满足m＋n２Sn ≥６n对任意的n∈N∗ 都成立,求m 的取值范围． １９．某校组织的一次篮球定点投篮比赛,其中甲、乙、丙三人投篮命中率分别是１２ , a,a(