第七届高二试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１０８　 一、选择 第七届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(B卷) 题 １．定义A∗B,B∗C,C∗D,D∗A 的运算分别对应下图中的(１),(２),(３),(４),那 么,下图中(甲),(乙)的运算结果可能是(　　)． A．B∗D,A∗D B．B∗D,A∗C C．B∗C,A∗C　　D．C∗D,A∗D ２．下列命题中真命题的个数为(　　)． ① 命题“若x＝y,则sinx＝siny”的逆否命题为真命题; ② 设α,β∈ － π ２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷,则“α＜β”是“tanα＜tanβ”的充要条件; ③ 命题“自然数是整数”是真命题; ④ 命题“∀x∈R,x２＋x＋１＜０”的否定是:“∃x０ ∈R,x２０＋x０＋１＜０”． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ３．过抛物线y２ ＝４x 的焦点F 作两条弦AB 和CD,且 AB ⊥x 轴,|CD|＝ ２|AB|,则弦CD 所在直线的方程是(　　)． A．x－y－１＝０ B．x－y－１＝０或x＋y－１＝０ C．y＝ ２(x－１) D．y＝ ２(x－１)或y＝－ ２(x－１) ４．已知二面角α－l－β的大小为５０°,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α和 平面β所成的角都是２５°的直线的条数最多为(　　)． A．２条 B．３条 C．４条 D．５条 ５．在如图所示的算法框图中,令a＝tanθ,b＝sinθ,c＝cosθ,若在集合{θ|－π４ ＜ θ＜３π４ ,θ≠０,π４ ,π ２ }中,给θ取一个值,输出的结果是sinθ,则θ的值所在范围是 (　　)． A．(－π４ ,０) B．(０,π４ ) C．(π４ ,π ２ ) D．(π２ ,３π ４ ) ６．若z＝sin２θ－１＋(２cosθ＋１)i是纯虚数,则tanθ的值为(　　)． １０９　 (第５题图) A．３３ B． ３ ２ C．１ D．２ ７．若在区间(－１,１)内任取实数a,在区间(０,１)内任取实数b, 则直线ax－by＝０与圆(x－１)２＋(y－２)２ ＝１相交的概 率为(　　)． A．３８ B． ５ １６ C．５８ D． ３ １６ ８．将５个相同的白球和５个相同的红球全部放入３个不同的盒 子中,每个盒子既要有白球,又要有红球,则不同的放球方 法共有(　　)． A．１８种 B．２４种 C．３６种 D．４８种 二、填空题 ９．一组数据共有５０个数,其中７个数在中位数和平均数之间,如果这组数据的中 位数和平均数都不在这５０个数中,且平均数大于中位数,那么这组数据中小于 平均数的数据占这５０个数据的百分比是 ． １０．若(x＋１)n ＝xn＋􀆺＋ax４＋bx３＋􀆺＋１,且a＝５０２b,则n＝ ． １１．某公司规定,每位职工可以在每周的７天中任选２天作为休息日(如选择星期 一和星期四),其余５天工作,以后不再改动,则甲、乙、丙三位职工恰好同时工 作,同时休息的概率是 ． １２．设a、b、c为常数,对任意x∈R,不等式asinx＋bcosx＋c＞０恒成立的充要条 件是 ． １３．若函数y＝lnx－ax 的增区间为(０,１),则a的值为 ． １４．点P 在圆x２＋(y－２)２ ＝ １４ 上移动,点Q在椭圆x２＋４y２ ＝４上移动,则线 段|PQ|的最大值为 ． １５．如果把两条异面直线看成“一对”,那么在长方体６个面的１２条对角线所在的 直线中,异面直线共有 对． １６．从由正数组成的集合A 中随机地选出一个数n的概率为lg(n＋１)－lgn,则在 下面 给 出 的 四 个 集 合 中:①{１,２,３,４,５,６,７,８,９,１０};②{１,２,３,４,５,６,７,８, ９};③{１３ ,４,５,６,７,８,９};④{１２ ,１,６,７,８,９}． 能当成集合A 的为 (填上符合要求的所有序号)． 三、解答题 １７．为了推进国际旅游岛的建设,海南省决定建一个橡胶基地,打算从外地引进３ 株名贵橡胶树,已知这３株名贵橡胶树移栽的成活率分别为３４ ,２ ３ ,１ ２ ,且各株 !"#$! １１０　 橡胶树是否成活互不影响． (１)若它们至少成活两株的概率大于７０％,则橡胶基地就决定引进这三株名贵 橡胶树,否则不予引进,问:橡胶基地是否会从外地引进这３株名贵橡胶 树? (２)求橡胶树成活株数X 的分布列与数学期望． １８．在四棱锥E－ABCD 中,底面ABCD 是矩形且AB ＝２BC＝２,侧面 △ADE 是 正三角形且垂直于底面ABCD,F是AB 的中点,O为AD 的中点, 求:(１)异面直线AE 与CF 所成角的大小; (２)点O到平面EFC 的距离; (３)二面角E－FC－D 的大小． １１１　 １９．已知函数f(x)＝x３＋bx２＋cx,g(x)＝４x－２,若f(x)的图象在点(１,f(１)) 处的切