第七届高二试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１０４　 一、选择题 １．下列四个命题中 第七届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(A卷) : p１:∃x∈ (０,１),log１２x＞log１３x;　　p２:∀x∈ (０,＋∞), １ ２ æ è ç ö ø ÷ x ＞log１２x; p３:∃x,y∈R,sin(x－y)＝sinx－siny;　　p４:∀x∈R, １－cos２x２ ＝sinx． 其中真命题为(　　)． A．p１,p３　　　　B．p２,p４　　　　C．p１,p４　　　D．p２,p３ (第２题图) ２．右边的程序框图中,若输出p的值为２９,那么程序框图 中,判断框内应填写的条件是(　　)． A．p＞２５? B．p＜２５? C．p＜３０? D．p＞３０? ３．若椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左、右焦点分别为F１、 F２,线段F１F２ 被抛物线y２ ＝２bx 的焦点分成５∶３两 段,则此椭圆的离心率为(　　)． A．１６１７ B． ４ １７ １７ C．４５ D． ２ ５ ５ ４．５个相异自然数的平均数为１０,中位数为１５,这５个自 然数中最大的数最大可能是(　　)． A．１６ B．１７ C．１８ D．１９ ５．若函数f(x)＝－ １２x ２ ＋blnx 在(１,＋ ∞)上是减函数,则b的取值范围是 (　　)． A．[１,＋∞) B．(１,＋∞) C．(－∞,１] D．(－∞,１) ６．在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规 模群体感染的标志为“连续１０天,每天新增疑似病例不超过８人”,根据过去１０ 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是(　　)． A．甲地:总体均值为４,中位数为４ B．乙地:总体均值为２,总体方差大于０ １０５　 C．丙地:总体均值为２,总体方差为３D．丁地:中位数为２,众数为３ ７．用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色,要求每个顶点涂一种颜色,且每 条棱的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有(　　)． A．２８８种 B．２６４种 C．２４０种 D．１６８种 ８．已知函数f(x)＝sinπx３ ,集合A＝ {１,２,３,４,５,６,７,８,９},现从A中任取两个不 同的元素m、n,使f(m)􀅰f(n)＝０的概率为(　　)． A．４９ B． ５ ９ C． ５ １２ D． ７ １２ 二、填空题 ９．复数 ５－７i１＋i æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ． １０．∀x∈R,函数f(x)＝x３＋ax２＋３ax＋４没有极值的充要条件为 ． １１．从集合A＝{１,２,３,４,􀆺,１０}中选出５个数字,组成A的子集,并使这５个数字 中的任意两个的和都不等于１１,则这样的子集共有 个． (第１３题图) １２．设圆过双曲线x ２ ９ － y２ １６＝１ 的一个顶点和一个焦点,圆心在 此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 ． １３．将全体正整数排成一个三角形数阵:按照这个排列规律,第 n行(n≥４)从右向左的第４个数为 ． (第１４题图) １４．如图,AB 是平面α的斜线段,点A为斜足,若点P在平面 α内运动,使得 △ABP 的面积为定值,则动点P的轨迹的 形状是 ． １５．若点P(－３,１)在椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左准线 上,过点P 且斜率为－５２ 的光线经直线y＝－２反射后通过椭圆的左焦点,则 这个椭圆的离心率为 ． １６．某公司有５万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利１２％,一旦失 败,一年后将丧失全部资金的５０％,下表是过去２００例类似项目开发的实施结 果: 投资成功 投资失败 １９２次 ８次 则该公司一年后估计可获收益的期望是 元． 三、解答题 １７．为保证树苗的质量,林管部门都会在植树前对树苗进行检测,现从甲、乙两种 树苗中各抽测１０株树苗的高度,量出的高度如下(单位:厘米): !"#$! １０６　 甲:３７,２１,３１,２０,２９,１９,３２,２３,２５,３３ 乙:１０,３０,４７,２７,４６,１４,２６,１０,４４,４６ (１)根据抽测结果,完成图(１)中的茎叶图,并根据你填 写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出 两个统计结论; (２)设抽测的１０珠甲种树苗高度平均值为􀭺x,将这１０株 树苗的高度依次输入图(２)中程序框图进行运算,输 出的S大小为多少?说明S的统计意义． 　　　　　　　　　　　　　 　　 １８．如图,在底面边长为２,侧棱长为６的正三棱柱ABC－A１B１C１ 中,一细绳自点 A 绕正三棱柱的侧面一周后到达点A１,绳子拉紧后与侧棱BB１、CC１ 分别交于 点 M、N,此时绳子最短． (１)求异面直线AM 与NA１ 所成的角α的余弦值; (２)求异面直线AM 与NA１ 间的距离． １０７