第六届高二试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１０１　 一、选择 第六届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(决赛) 题 １．在 △ABC 中,AB→􀅰BC→ ＝３,△ABC 的面积S ∈ ３２ ,３ ２ é ë êê ù û úú,则AB → 与BC→ 的夹角的 取值范围是(　　)． A．π４ ,π ３[ ] B． π ６ ,π ４[ ] C． π ６ ,π ３[ ] D． π ３ ,π ２[ ] ２．已知实数a,b满足a＋b＋a２＋b２ ＝２４,则(　　)． A．－８≤a＋b≤６ B．－６≤a＋b≤８ C．－７ ２－１≤a＋b≤７ ２－１ D．－７≤a＋b≤７ ３．已知 △ABC 的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,则 cotB的取值范围为(　　)． A．(０,３] B．[３,＋∞) C．０,３３ æ è ç ö ø ÷ D． ３ ３ ,＋∞ é ë êê ö ø ÷ ４．已知点F１、F２ 为椭圆E的左右两个焦点,抛物线C以F１ 为顶点,F２ 为焦点,设 P为椭圆与抛物线的一个交点,如果椭圆的离心率e满足|PF１|＝e|PF２|,则 e＝ (　　)． A．２２ B．２－ ３ C． ３ ３ D．２－ ２ ５．正四面体ABCD 的棱长为１,点E是 △ABC内一点,点E到边AB、BC、CA 的距 离之和为x,点E到平面DAB、平面DBC、平面DCA 的距离之和为y,则x２＋y２ 等于(　　)． A．１ B．６２ C． ５ ３ D． １７ １２ ６．已知直线x＋ ３y－m＝０与圆x２＋y２ ＝１交于A、B两点,则(OA→＋OB→)平行 于向量(　　)． A．－ ３３ ,１ æ è ç ö ø ÷ B．(－１,３) C． ３３ ,－１ æ è ç ö ø ÷ D．(１,３) 二、填空题 ７．直线与x轴交于点A(m,０),与y轴交于点B(０,n)(m ＞０,n＞０),且直线与椭 圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)相切,则|AB|的最小值为 ． !"#$! １０２　 ８．在直二面角α－l－β内有两个半径为１而且相外切的球O１ 和O２,它们与面α以 及面β也都相切,若另外一较小的球O与这两个球均相切,且与面α以及面β相 切,则球O的半径为 ． ９．设实数x、y满足 x－y≤０, x＋２y－５≥０ y－２≤０． ì î í ï ï ïï ,则t＝ yx æ è ç ö ø ÷ ２ －yx 的最大值为 ． １０．△ABC 中,边AB 为最大边,且sinA􀅰sinB＝２－ ３４ ,则cosAcosB的最大值是 ． １１．一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于点O 的一个定点,点A 是圆周上一 动点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD 与OA 交于点P, 当点A 运动时,点P 的轨迹是 ．(只需填曲线的名称) １２．双曲线x２－y２＝６,左右顶点为A１、A２,P为右支上一点,过点P作PB ⊥x轴 于点B,且 ∠PA２B＝３∠PA１B＋１０°,则 ∠PA１B＝ 度． 三、解答题 １３．已知 △ABC的三边长a、b、c,三内角为A、B、C．求证:π３≤ aA＋bB＋cC a＋b＋c ＜ π ２． １４．已知椭圆x ２ m２ ＋y ２ n２ ＝１(m,n＞０),过原点且倾斜角为θ和π－θ０＜θ＜ π２ æ è ç ö ø ÷的 两条直线分别交椭圆于A、C和B、D 四点． (１)用θ、m、n表示四边形ABCD 的面积S; (２)若m、n为定值,当０＜θ≤ π４ 时,求S的最大值． １０３　 １５．已知正方形ABCD 的边长为４,点E为边CD 上一点,将 △ADE 沿着AE 折起, 使D 点到D′的位置,此时D′点在平面ABCD 内的射影在AC 上,且BD′⊥ D′C． (１)求D′点到平面ABCD 的距离; (２)求二面角D′－AE－B的大小． １６．已知圆F过定点A(a,０)(a＞０),圆心F在抛物线C:y２ ＝２ax上运动,MN 为 圆F在y 轴上截得的弦． (１)试判断 MN 的长是否随圆心F 的运动而变化．并证明你的结论; (２)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆F 有怎 样的位置关系?并说明理由． !"#$! ２０５　 故EC 与平面DAC 所成的角为arctan ７７． １６．解:(１)过点P作PN 垂直直线y＝－ ３２ 于 点N,依题意得 PN ＝ PF ,即动点P 到定直线y ＝－ ３２ 与定点 ０,３２( ) 的距离 相等,所以动点P 的轨迹是以F ０,３２( ) 为 焦点,直线y＝－ ３２ 为准线的抛物线,即曲 线C的方程为x２ ＝６y． (２)依题意,直线l１、l２ 的斜率存在且不为 ０,则可设直线l１ 的方程为y＝kx＋ ３２ , 由l１ ⊥l２ 得l２ 的方程为y