第五届高二试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

９５　 一、选择 第五届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(决赛) 题 １．湖面上浮着一个球,湖水结冰后将球取出,冰中留下一个面直径为２０cm,深为 ５cm的空穴,则这个球的半径是(　　)cm． A．９　　　　　　B．１０．５　　　　　C．１２．５　　　　　D．１４．５ ２．设e是单位向量,AB→ ＝６e,CD→ ＝－６e,|AD→|＝６,则四边形ABCD 是(　　)． A．梯形 B．无特殊限制的菱形 C．正方形 D．无特殊限制的矩形 ３．以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点,若这四点与两焦点恰构成正六边形,则 椭圆离心率为(　　)． A．５２ B．２－１ C．３－１ D． ３ ２ ４．a、b、c∈R＋,ab＋bc＋ac＝２,则以下不等式中总成立的是(　　)． A．a２＋b２＋c２ ≥４ B．(a＋b＋c)２ ≥６ C．１a＋ １ b＋ １ c ≤ ３ ６ ４ D．abc (a＋b＋c)≥ ４３ ５．设点A、B为椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)和双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１的公共顶点,点 P、M 分别是双曲线和椭圆上不同于A、B的两动点,且满足AP→＋BP→＝λ(AM→＋ BM→)(λ∈R且|λ|＞１)．设AP、BP、AM、BM 的斜率分别为k１,k２,k３,k４,则k１ ＋k２＋k３＋k４ 的值为(　　)． A．０ B．－b２a C．－ ２b a D．－ b２ a２ ６．已知函数f(x)＝ ２ ２sinx＋π４ æ è ç ö ø ÷＋４x２＋x ２x２＋cosx 的最大值为M,最小值为m,则 M 与m 满足(　　)． A．M＋m ＝６ B．M＋m ＝４ C．M－m ＝６ D．M－m ＝４ 二、填空题 ７．f(x)＝ (１－sin３x)sinx的最大值为 ． ８．|a|＝２,|b|＝４,‹a,b›＝１２０°,实数k满足a＋kb与ka＋b的夹角为钝角,则 k的取值范围为 ． !"#$! ９６　 ９．以正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为自变量x,则相邻两侧面所成角的 正弦值与x的关系是f(x)＝ ． １０．设a０＝ ３,an＋１＝ [an]＋ １ {an} ,其中[an]与{an}分别表示an 的整数部分和小 数部分．则a２００９ ＝ ． １１．设m是一个实数,若对于任何实数x,不等式x２log１２ (m２－２m－８)＋２x＋１≥ ０恒成立,则m 的取值范围是 ． １２．在x轴的正方向上,从左向右依次取点列{Pj},j＝１,２,􀆺,以及在第一象限内 的抛物线y２＝３２x 上从左向右依次取点列{Qk},k＝１,２,􀆺,使 △Pk－１QkPk(k ＝１,２,􀆺)都是等边三角形,其中P０是坐标原点．则第２００９个等边三角形的边 长是 ． 三、解答题 １３．已知:三角形的边长分别等于a、b、c．求证:３２ ≤ a b＋c＋ b c＋a＋ c a＋b＜２． １４．过点P(－５,６)作圆C:x２＋y２－６x－８y＝０的两条切线,切点分别为A、B,求 经过圆心C、切点A、B这三点的圆的方程及弦长|AB|． ９７　 １５．在矩形ABCD 中,AB ＝２,BC＝２m,点O为其中心,EO ⊥ 平面ABCD,EO ＝ n,且在边BC 上存在唯一的点F,使得EF ⊥FD．问:m、n满足什么条件时,平 面DEF 与平面ABCD 所成的角为３０°? １６．设x１,x２,􀆺,xn 与a１,a２,􀆺,an 这两组实数满足条件: (１)∑ n i＝１ xi ＝０; (２)∑ n i＝１ |xi|＝１; (３)a１ ≥a２ ≥ 􀆺 ≥an(a１ ＞an,n≥２)． 试求使不等式 ∑ n i＝１ aixi ≤m(a１－an)恒成立的m 的取值范围． !"#$! ２００　 于是,KOM ＝y ． ． ０ x０ ,KPQ ＝ βα , 又点P、Q在双曲线上,所以有: b２(x０ ＋α)２ －a２(y０ ＋β)２ ＝a２b２, ① b２(x０ －α)２ －a２(y０ －β)２ ＝a２b２, ② ①－② 得:４b２αx０ －４a２βy０ ＝０, 故KOM 􀅰KPQ ＝βy０αx０ ＝ b２ a２ ＝ c a ． 由 c２ ＝２a２ ＋２b２, b２ ＝ac．{ ⇒２a ２ ＋２ac－c２ ＝０． ∴ ca ＝１± ３ (负的舍去), 故KOM 􀅰KPQ ＝１＋ ３． １６．解:设B组的数为a１,a２,􀆺,ak 且a１ ＜a２ ＜ 􀆺 ＜ak,则N ＝a１a２􀆺ak ＝２１０－(a１＋a２ ＋􀆺＋ak),所以N ＜２１０． 若k＞５,则N＞１×２×３×４×５×６＝７２０ 与N ＜２１０矛盾． ∴k≤５,而k＞１,故２≤k≤５． ① 当k＝２时,由ab＝２１０－(a＋b)有(a ＋１)(b＋１)＝２１１,此