第四届高二试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

８９　 一、选择题 １．对任意x∈R,不等式３x２－a x２＋１ 第四届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(决赛) ＋４＞０恒成立,则a的取值范围是(　　)． A．a＜４ B．a≤４ C．a≤２ ３ D．a＜２ ３ ２．若对任何x∈(０,１],不等式１－kx≤ １ １＋x ≤１－lx恒成立,则一定有(　　)． A．k≥０,l≤ １ ２＋ ２ B．k≥０,l≥ １３ C．k≥ １２ ,l≤ １ ２＋ ２ D．k≥ １４ ,l≤ １３ ３．如图所示,正方体的一个表面即正方形AA１B１B内有一个动点P,点P到D１A１ 和C１B１ 的距离之和为１０３ ,正方体棱长为２,则点P 对 A１B１ 张角最大时,∠A１PB１ ＝ (　　)． A．π２ B． π ３ C．arccos３５ D．２arctan ３ ４ ４．已知α＋β＝１５°,则 １－tanα－tanβ－tanαtanβ １＋tanα＋tanβ－tanαtanβ ＝ (　　)． A．３ B．２＋ ３ C．２－ ３ D．３３ ５．已知数列{an}中,a１ ＝１,a２ ＝２,anan＋１an＋２ ＝an＋an＋１＋an＋２,且an＋１an＋２ ≠ １,则∑ ２００８ n＝１ an ＝ (　　)． A．４０１６ B．４０１５ C．４０１８ D．４０１９ ６．△ABC中,A为动点,B、C为定点,B －a２ ,０æ è ç ö ø ÷,C a２ ,０æ è ç ö ø ÷,且满足条件sinC－sinB ＝ １２sinA ,则点A 的轨迹方程是(　　)． A．１６x ２ a２ －１６y ２ ３a２ ＝１．(y≠０) B．１６y ２ a２ －１６x ２ ３a２ ＝１．(x≠０) C．１６x ２ a２ －１６y ２ ３a２ ＝１．左支(y≠０) D．１６x ２ a２ －１６y ２ ３a２ ＝１．右支(y≠０) !"#$! ９０　 二、填空题 ７．若mx２＋ny２ ＝１(m＞０,n＞０)与２x＋y－１＝０相交于A、B两点,且在AB 线段上存在一点M,使OM→＝ １２ (OA→＋OB→)(O为原点),OM 倾斜角为π３ ,则n m ＝ ． ８．x为任意角,f(x)＝ １２＋sinx＋ １ ２＋cosx 的最大值为 ． ９．y＝kx＋１与x２－y２ ＝１的左支交于A、B两点,直线l过(－２,０)及AB 中点, 则l在y 轴上截距范围为 ． １０．已知圆C:x２＋y２ ＝r２ 过b２x２＋a２y２ ＝a２b２(a＞b＞０)的两焦点F１(－c, ０)、F２(c,０),且它们有４个交点,其中１个交点为P,若 △PF１F２ 面积为２６,椭 圆长轴为１５,则a＋b＋c＝ ． １１．正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,点E为BC 中点,点F在AA１ 上,AF∶FA１ ＝１ ∶２,则平面B１EF 与底面A１B１C１D１ 所成的二面角为 ． １２．设y＝ax＋x２－x３ æ è ça∈R,x∈ １２ ,２[ ] ö ø ÷ 的图象与任何斜率不小于２的直线 至多有１个公共点,则a的范围为 ． 三、解答题 １３．已知x,y都在(－２,２)内且xy ＝１,求f(x,y)＝ ４ ４－x２ ＋ ９ ９－y２ 的最小值． ９１　 １４．设双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１上两动点P１、P２离心角分别为α、β,若２cos α ２cos β ２ ＝１ , 试求双曲线在P１、P２ 两点处切线的交点轨迹． １５．a,b,c≥０,a＋b＋c＝３,求证: a １＋a２ ＋ b １＋b２ ＋ c １＋c２ ≤ １１＋a＋ １ １＋b＋ １ １＋c． １６．已知a１ ＝１,an＋１ ＝２an＋(－１)nn＋１．求通项式an． !"#$! １９５　 ＝２y－xx ＋ ４(z＋x－２y) y － ８(z－y) z ＝－１７＋２yx ＋ ４x y ＋ ４z y ＋ ８y z ≥－１７＋２ ８＋２ ３２ ＝－１７＋１２ ２, ① 等号成立时 ２y x ＝ ４x y , ４z y ＝ ８y z ． ì î í ï ï ïï ⇒ y＝ ２x, z＝ ２y．{ 即 a＋b＋２c＝ ２(a＋２b＋c), a＋b＋３c＝２(a＋２b＋c)．{ 解得:b＝ (１＋ ２)a,c＝ (４＋３ ２)a, 即当正实数a、b、c满足b＝ (１＋ ２)a,c＝ (４＋３ ２)a 时,原式取得最小值 －１７＋ １２ ２． １６．解:因为P 的方程为y２ ＝mx,故可设其上 任一点坐标为(mt２,mt),其中t为实数． 点(mt２,mt)处的切线斜率为１２t． 设A(ms２,ms),B(mt２,mt), ∵ 在A 和B 处的两条切线垂直, ∴ １２s 􀅰１ ２t＝－１ ,即st＝－ １４ , ① △ABO 重心 m (s２ ＋t２) ３ ,m(s＋t) ３