第四届高二试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

８６　 第四届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(初赛) (第１题图) 一、选择题 １．设e１,e２ 分别为具有公共焦点F１ 和F２ 的椭圆和双曲线的离 心率,点P为两曲线的一个公共点且满足PF１→􀅰PF２→ ＝０,则 e２１＋e２２ (e１e２)２ 的值为(　　)． A．１ B．１２ C．２ D．不确定 ２．空间有４个不共面的定点,以这４个点为顶点的平行六面体的个数是(　　)． A．２０个 B．３２个 C．２５个 D．２９个 ３．正方体的棱、面上的对角线及正方体的体对角线,它们本身及相互之间构成的 异面直线共有(　　)对． A．７３ B．１４４ C．１７４ D．１７８ ４．椭圆C１:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左准线为l,左、右焦点分别为F１、F２,抛物 线C２ 的准线也为l,焦点为F２．设C１ 与C２ 的一个交点为 P,则 |F１F２| |PF１| － |PF１| |PF２| ＝ (　　)． A．１３ B．１ C．３ D．与a、b的取值有关 ５．在 △ABC 中,sinB＋sinC＝２sinA,已知点B(３,２),C(７,２),则S△ABC 的最大值 为(　　)． A．４ ３ B．８ ３ C．４ D．８ ６．正数a,b与正整数n 满足:an ＝a＋１,b２n ＝b＋３a,则a与b 的大小关系是 (　　)． A．a＞b＞１ B．b＞a＞１ C．０＜b＜１＜a D．０＜a＜１＜b 二、填空题 ７．函数 f(x)＝ ２sinx＋２cos２x＋６ １＋cos２x 在[－a,a]内的最大值与最小值之和为 ８７　 ． ８．已知a３＋b３ ＝２７,a、b∈R＋,则a＋b的取值范围为 ． ９．已知双曲线的渐近线方程为x±２y＝０,则此双曲线的离心率e＝ ． １０．已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１,其离心率e＝ ２３ ,A、B是椭圆上两点,l为AB 的垂直平 分线,交x轴于点(１,０),AB 的中点为(x０,y０),则x０ ＝ ． １１．已知f(x)＝１＋x２－x ,对于n∈N,定义:f１(x)＝f(x),fn＋１(x)＝f[fn(x)],如 果f１３(x)＝f３１(x),那么f１６(x)的解析式是 ． １２．给定一个点P(３,１)及两条直线l１:x＋２y＋３＝０和l２:x＋２y－７＝０,则过 P 点且与l１、l２ 都相切的圆方程为 ． 三、解答题 １３．已知根式 sin６x＋cos６x＋sin４x＋cos４x＋２asinxcosx＋３恒有意义,求a的 范围． １４．已知直线l:x６－ y ８＝１ 夹在两坐标轴间的线段为椭圆的长轴,且椭圆的离心率 为０􀆰８,求此椭圆方程． !"#$! ８８　 １５．a、b、c为正实数,求 a＋３ca＋２b＋c＋ ４b a＋b＋２c－ ８c a＋b＋３c 的最小值． １６．设A和B 是抛物线P 上的两个动点,使得在A和B 处的两条切线相互垂直,由 点A、B及抛物线P的顶点所构成的三角形重心的轨迹为一抛物线P１,对P１再 重复上述过程,又得一抛物线P２,依此类推．设如此得到抛物线序列为P,P１, P２,􀆺,Pn,如果P 的方程是y２ ＝mx,试求Pn 的方程． １９３　 高二试题(初赛) 一、选择 第四届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 题 １．C　 提示:设椭圆长半轴为a１,双曲线长半轴 为a２,|PF１|＝m,|PF２|＝n．则m＋n＝ ２a１①,m－n＝２a２②,m２＋n２ ＝ (２c)２③,由 ①,② 有m＝a１＋a２,n＝a１－a２,代入 ③ 得 a２１＋a２２ ＝２c２,∴ a１c( ) ２ ＋ a２c( ) ２ ＝２,即 １ e１( ) ２ ＋ １e２( ) ２ ＝２,∴e ２ １ ＋e２２ e２１e２２ ＝ ２． ２．D　 提示:每一平行六面体被所指定的１个 顶点和３个中截面所在平面唯一确定,这些 中截面中的每一个都与该平行六面体所有顶 点等距．对于给定的４个不共面的点,存在７ 个到这４个点等距的平面,从这７个平面中 任选３个,有C３７ ＝３５种,但是现在需要３个 交于一点的平面,故应从３５个平面组中排除 那些平行于同一直线的三平面组,这样的三 平面组有６个,３５－６＝２９个． ３．C　 提示:棱与棱构成的异面直线的对数有 １２×４ ２ ＝２４ 对,棱与面对角线构成的有１２× ６＝７２对,棱与体对角线构成的有１２×２＝ ２４对,面对角线与面对角线构成的有１２×５２ ＝３０对,面对角线与体对角线构成的有１２× ２＝２４对．２４＋７２＋２４＋３０＋２４＝１７４对． ４．B　 提示:设|PF２|＝m,作PP′⊥l于点 P′,则 |PP′|＝|PF２ |＝ m,|PF１||PP′| ＝ |PF１| m ＝e ,∴|PF１|＝me,|PF１|＋|PF２| ＝m