第三届高二试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

８０　 一、选择 第三届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(初赛) 题 １．椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１上的任意一点到焦点距离分别为d１、d２,焦距为２c．若d１、３c、d２ 成等差数列,则椭圆的离心率为(　　)． A．１３ B． ２ ２ C． ３ ２ D． ３ ４ ２．球面上有３个点,其中任意两点的球面距离都等于周长的１６ ,经过这３个点的小 圆的周长为６π,那么这个球的半径为(　　)． A．４ ３ B．２ ３ C．３ ３ D．６ ３ ３．把直线y＝２x＋１上的点(x,y)按向量a＝ (x０,y０)平移后,得直线y＝２x－１ 上的点(x１,y１),有x＋x０ ＝x１,y＋y０ ＝y１,则２x０－y０ 的值为(　　)． A．１ B．２ C．３ D．不能确定,与x０、y０ 的具体值有关 ４．设椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的一个焦点为F,点P在y 轴上,直线PF 交椭 圆于点 M、N．PM→ ＝λ１MF→,PN→ ＝λ２NF→,则实数λ１＋λ２ ＝ (　　)． A．－２b ２ a２ B．－b ２ a２ C．－２a ２ b２ D．－a ２ b２ ５．已知点P(x,y)在曲线C:(xcosθ＋ysinθ)２＋xsinθ－ycosθ＝１上,则|OP|(O 为坐标原点)的最小值为(　　)． A．１２ B． ２ ２ C． ３ ２ D．１ ６．已知正整数数列{an}满足an＋２＝a２n＋１＋a２n(n≥１)．若正整数m满足am ＝２００５, 则所有可能的m 构成的集合是(　　)． A．{１,２} B．{１,２,３} C．{１,２,３,４} D．{１,２,３,４,５} 二、填空题 ７．定长为m m ＞２b ２ a æ è ç ö ø ÷的线段AB的端点在双曲线b２x２－a２y２＝a２b２的右支上运 动,则AB 中点M 的横坐标的最小值为 ． ８．直线ax＋by＋１＝０被圆x２＋y２＝１６截得弦长为２ ３,则a２＋b２＝ ． ８１　 ９．已知４x＋４y ＝２x＋１＋２y＋１,则p＝２x＋２y 的取值范围是 ． １０．函数y＝x＋ x２－３x＋２的值域为 ． １１．关于x的方程x４－２ax２－x＋a２－a＝０只有两个不等的实根,则实数a的取 值范围是 ． １２．已知曲线x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a≥b＞０)经过点(３,１),则所有这些曲线上满足y＞ １的点组成的图形的面积为 ． 三、解答题 １３．抛物线y２ ＝６x上恒有两点关于直线y ＝kx＋９２ 对称．求k的取值范围． １４．设 M ＝ {x|mx２＋(１－mn)x－n＞０},N ＝ {x|x２－x－１２＜０},若M ⊆ N．求实数m,n的取值范围． !"#$! ８２　 １５．已知f(x)＝x ４＋kx２＋１ x４＋x２＋１ ,k、x∈R． (１)求f(x)的最大值与最小值． (２)求所有实数k,使得对任意三个实数a、b、c,存在一个三角形具有边长 f(a),f(b),f(c)． １６．已知一个四面体中有四条棱长均为１,求此四面体体积的最大值． １８７　 则有|AP|＋|AM|＝|BP|＋|BM|, 则|AM|－|BM|＝|BP|－|AP|, ∵|AP|＝１００,|BP|＝１５０, ∴|AM|－|BM|＝５０, ∵∠APB ＝６０°, ∴|AB|２ ＝|AP|２＋|BP|２－２|AP|× |BP|cos６０°, ∴|AB|＝５０ ７． M 点的轨迹为双曲线的一部分,为: x２ ６２５－ y２ ３７５０＝１ (x≥２５,y≥０)． １３􀆰解:设A(２pt２１,２pt１),B(２pt２２,２pt２),则 KOA ＝ １t１ ,KOB ＝ １t２ , ∵OA ⊥OB,∴KOA 􀅰KOB ＝－１, ∴t１t２ ＝－１,设C(x,y),则KOC ＝ yx , ∵OC 平分 ∠AOB,∴∠AOC ＝４５°, 则 KOA －KOC １＋KOA 􀅰KOC ＝１ , ∴ １ t１ － y x １＋ １t１ 􀅰y x ＝１,得t１ ＝x－yx＋y , 又点A、C、B共线,当t１ ＋t２ ≠０时, ２pt１ －y ２pt２１ －x＝ ２pt１ －２pt２ ２pt２１ －２pt２２ , 即２pt１ －y ２pt２１ －x＝ １ t１ ＋t２ ＝ t１ t２１ －１ , ∴y(１－t２１)－２pt１ ＋xt１ ＝０, 将t１ ＝x－yx＋y 代入,整理得 x３ ＋３xy２ －２p(x２ －y２)＝０．① 当t１ ＋t２ ＝０时,即t１ － １t１ ＝０． ∴t２１ ＝１,t２２ ＝ (－t１)２ ＝１, 此时,点C(２p,０)满足 ① 式． ∴① 式即为点C的轨迹方程． １４􀆰解:首先,可以指出１２个连续正整数,如 ９９４,９９５,􀆺,９９９,１０００,