第一届高二试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

７１　 一、选择 第一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(决赛) 题 １．若０＜a＜b,且a＋b＝１,则下列各式中,最大的是(　　)． A．－１ B．log２b C．log２a＋log２b＋１ D．log２(a２＋b２) ２．已知P、Q是双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)上的两点,M 是线段PQ 的中点,且 直线PQ、OM 的斜率分别是k１、k２,若k１k２ ＝２,则双曲线的离心率e是(　　)． A．２ B．３ C．２ D．不确定 ３．已知点P(－２,１),过点P向直线l１:y＝ ３x和l２:y＝ ３３x 作垂线,垂足分别为 点 M、N,则线段 MN 的长是(　　)． A．３ B．２ ３ C．５２ D． １５ ２ ４．已知过原点的所有直线都与椭圆k２x２＋y２－kx＋２ky＋k２－１＝０有两个不同 的交点,那么实数k的取值范围是(　　)． A．k＞１或k＜－１ B．k≠±１ C．－１＜k＜０或０＜k＜１ D．０＜k＜１ ５．已知实数x、y 满足log２x＋log２(y＋１)＝１,则S ＝x２ ＋ １２y ２ 的最小值是 (　　)． A．３２ B．２ C． ７ ２－ ２ D．２＋ ２ ６．空间中n(n≥３)个平面,其中任意三个平面无公垂面,那么下述四个结论:① 没 有任何两个平面互相平行;② 没有任何三个平面相交于一条直线;③ 平面间的 任意两条交线都不平行;④ 平面间的每一条交线均与n－２个平面相交 ．其中正 确的个数为(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 二、填空题 ７．不等式log１２ ( １ x＋２－１ )＞０的解集是　　　　　　　． !"#$! ７２　 ８．实数 x、y 满足不等式组 x≥０, x－y≤０, x－２y＋２≥０． ì î í ï ï ïï 则t＝log２y＋１x＋２ 的取值范围是 　　　　　　　． ９．设点P 是曲线y２ ＝４x上一点,点P 到y 轴的距离是d１,到直线l:４x＋３y＋５ ＝０的距离是d２,则d１＋d２ 的最小值是　　　　　　． １０．已知正整数n满足条件:存在唯一的整数k,使８１５＜ n n＋k＜ ７ １３ 成立,这样的n 的最大值是　　　　　　． １１．直角坐标系中,曲线|２x＋４y＋１０|＝２５－x２－y２ 围成的图形的面积是 　　　　　． １２．已知u∈ [－１,１],v∈R,则S＝ (u－v)２＋(１－u２－v２－３)２ 的最小值是 　　　　　　　　． 三、解答题 １３．直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,其内切圆与外接圆的半径分 别为r、R,当a、b、c变化时,试求rR 的最大值． １４．已知椭圆x ２ ３ ＋y ２ ＝１的短轴上端点为P,过点P作椭圆互相垂直的两弦PM、 PN,连接 MN,试求点P 在MN 上的射影Q 的轨迹方程． ７３　 １５．若对一切|x|≤１,都有f(x)＝|ax２＋bx＋c|≤１(a、b、c∈R,a≠０),试求 函数g(x)＝|３ax＋２b|在|x|≤１时的最大值． １６．已知点P 到圆(x＋２)２＋y２ ＝１的切线长与到y轴的距离之比为t(t＞０, t≠１)． (１)求动点P 的轨迹C 的方程; (２)设曲线C的两焦点为F１、F２,试求t的取值范围,使得曲线C上不存在点Q, 使 ∠F１QF２ ＝θ(－π＜θ＜π)． !"#$! １８０　 当t＝－２时,k＋t ２ t 取最小值－ ７４． １４．解:设AB 的方程为x＝ky＋c,与椭圆方程 联立得 (b２k２ ＋a２)y２ ＋２b２cky－b４ ＝０, (y１ －y２)２ ＝ (y１ ＋y２)２ －４y１y２ ＝ ２b ２ck b２k２ ＋a２( ) ２ ＋ ４b ４ b２k２ ＋a２ ＝４a ２b４(k２ ＋１) (b２k２ ＋a２)２ , 令p＝k２ ＋１≥１,则 ４a２b４(k２ ＋１) (b２k２ ＋a２)２ ＝ ４a２b４p b４p２ ＋２b２c２p＋c４ ＝ ４a ２b４ b４p＋c ４ p ＋ ２b２c２ , 因为c ２ b２ ＜１ ,p＝k２ ＋１≥１,所以 ４a２b４ b４p＋c ４ p ＋ ２b２c２ ≤ ４a ２b４ b４ ＋c４ ＋２b２c２ ＝４a ２b４ a４ ＝ ４b４ a４ , 所以S△F１AB ＝ １ ２ 􀅰 F１F２ 􀅰 y１ －y２ ≤ １２ 􀅰２c􀅰 ４b ４ a２ ＝ ２bc a , 即 △F１AB 的最大值为２bca ． １５．解:过点 A 作l的垂线m,设 m 的方程为 y ＝－ １２x＋p , 将A(４,５)代入解得p＝７, m 与l相交于点D(２,６), 点A 关于l的对称点是A′(０,７), 点A 关于x 轴的对称点是A″(４,－５), 连接A′A″,交x轴于B ７３ ,０( )