第一届高二试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

６８　 一、填空 第一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(初赛) 题 １．若θ是第二象限角,则sin(cosθ)×cos(sinθ) ０(填“＞”或“＜”)． ２．等比数列{an}中,a５ 和a９ 是关于x的方程５x２＋１７x＋１０＝０的两个根,则a７ ＝ ． ３．一个三角形的三条边成等比数列,公比q的取值范围是 ． ４．设集合 M 为函数y ＝lg(－x２ ＋８x＋２０)的 单 调 递 减 区 间,集 合 N ＝ x x ２－x－１２ １０－x ≥０{ },则“x∈M ∪N”是“x∈M ∩N”的 条件(填 “充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)． ５．△ABC 中,若sinA＋cosA ＝ ７１２ ,则 △ABC 一定是 三角形． ６．已知实数a、b、c满足a２＋b２ ＝１,c２＋b２ ＝２,a２＋c２ ＝２,ab＋bc＋ac的最小 值为 ． ７．设函数f(x)＝ １ ２x＋ ２ ,则f(－５)＋f(－４)＋f(－３)＋􀆺＋f(０)＋f(１)＋􀆺 ＋f(５)＋f(６)＝ ． ８．已知关于x的不等式|x－a|＋|x－b|＜１(其中a、b为常数)的解集为Ø,则 |a－b|的取值范围为 ． ９．与圆(x－３)２＋(y－３)２＝８相切且在x轴、y轴上截距相等的直线共有 条． １０．方程|x－１|＋|y－２|＝３所表示的曲线围成的图形面积为 ． 二、解答题 １１．已知sinα＋cosβ＝ ３ ５ ,cosα＋sinβ＝ ４ ５ ,求sin(α＋β)的值． ６９　 １２．已知a、b∈R,若方程x２－ax＋b＝０的根x１ 和x２ 满足－１≤x１ ≤１,１≤ x２ ≤２． (１)在平面直角坐标系aOb中,画出点(a,b)所表示的区域,并说明理由; (２)令u＝a－３b,求u的最大值与最小值． １３．已知a＝ (３,－１),b＝ １２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷,且存在实数k和t,使得x＝a＋(t２－３)b, y＝－ka＋tb,且x⊥y,求k＋t ２ t 的最小值． !"#$! ７０　 １４．已知点F１,F２ 是椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞c)的左右焦点,c为半焦距,弦AB 过右焦点F２,求 △F１AB 的面积的最大值． １５．以点A(４,５)为顶点,在x轴上找一点B,在直线l∶２x－y＋２＝０上找一点C 构成 △ABC,使其周长最小并求出这个最小值． １７９　 由(２)有AE＝ ６r,EC＝ ２r,AC＝２ ２r, 则 △AEC 是 ∠AEC ＝９０°的直角三角形, 故S△ACE ＝ １２ 􀅰 ２r􀅰 ６r＝ ３r２, 又已知r＝ ３． 综上,点D到面ACE的距离d＝２ ３r３ ＝２． 高二试题(初赛) 一、填空 第一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 题 １．＜ 　 提示:－ π２ ＜－１＜cosθ＜０ ,０＜sinθ ＜１＜ π２ ,则sin(cosθ)＜０,cos(sinθ)＞０． ２．－ ２　 提示:a５a９ ＝２,a５＋a９ ＝－１７５ ,又a５, a７,a９ 同号,所以a７ ＝－ a５a９ ＝－ ２． ３． ５－１ ２ ,５＋１ ２ æ è ç ö ø ÷　 提示:设三角形的三边 为a q ,a,aq,则 a q ＋ a＜aq, aq＋a＜ aq ． ì î í ï ï ïï 解得 ５－１ ２ ＜q＜ ５＋１ ２ ． ４．必 要 不 充 分 　 提 示:M ＝ (４,１０),N ＝ (－∞,－４]∪ [４,１０)． ５．钝角 　 提示:原式两边平方得sin２A＋cos２A ＋２sinAcosA＝４９１４４ ,所以２sinAcosA＝－９５１４４＜０ , 所以cosA ＜０,所以 △ABC 是钝角三角形． ６．１２ － ３　 提示:由b２ ＋c２ ＝２＝a２＋c２ 得 a２ ＝b２ ＝ １２ ,则c２ ＝ ３２ ,所以ab＋bc＋ca 的最小值为１ ２ －２× ２ ２ × ６ ２ ＝ １ ２ － ３． ７．３ ２　 提示:f(x)＋f(１－x)＝ １ ２x ＋ ２ ＋ １ ２１－x ＋ ２ ＝ １ ２x ＋ ２ ＋ ２ x－１ ２x－ １ ２ ＋１ ＝ １ ２x ＋ ２ ＋ ２x－ １ ２ ２x ＋ ２ ＝ １＋２ x－１２ ２ ２x－ １ ２ ＋１( ) ＝ ２２ , 所以原式 ＝f(－５)＋f(６)＋f(－４)＋f(３) ＋􀆺＋f(０)＋f(１)＝ ２２ ×６＝３ ２． ８．[１,＋ ∞)　 提 示: x－a ＋ x－b ≥ x－a＋b－x ＝ a－b ,原 不 等 式 无 解,则 a－b ≥１． ９．２　 提示:直线的斜率为－１,画图可知,共有 ２条直线． １０．１８　 提示:当x＝１时,y＝－１或５;当y＝２ 时,x＝－２或４,所求面积为 ２× １２