第十三届高一试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第十三届“ ”全国数学大赛 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 得分 1． 高一年级 A 卷 - 1 - 集合 3N 1A x x   = ∈ ≥    ， { }3N log ( 1) 1B x x= ∈ + ≤ ， ,S A S B⊆ ≠∅ ，则集合 S 的个数为（ ）． A．0 B．2 C．4 D．6 2．已知 1 2 4 2 log log 2logb a c< − < − ，则（ ）． A．b a c> > B． c b a> > C． c a b> > D． a b c> > 3．函数 2sin( ) 2 cos( ) 12 3 y x xπ π= + + + 的最大值为（ ）． A． 6 B． 2 C． 2 2+ D． 10 4． 已知 sin100°=a，则 sin95° 等于（ ）． A． 1 2 a− B． 1 2 a+ C． 22 1a − D． 21 2a− 5． 已知函数 2( ) 2 , ( ) 2( 0)f x x x g x ax a= − = + > ，若对任意的 [ ]1 1,2x ∈ − ，总存在 [ ]2 1,2x ∈ − ，使得 1 2( ) ( )f x g x= ，则实数 a 的取值范围是（ ）． A． 10, 2      B． 1 ,3 2      C．(0,3] D．[3,+ ∞ ) 6． 已知 * 1 2 1(0) ( ) ( ) ( ) (1) ( N )n na f f f f f n n n n − = + + + + + ∈ ，其中 1( ) ( ) 1 2 F x f x= + − 是 R 上的奇函数，则数列 { }na 的通项公式为（ ）． A． 1na n= − B． na n= C． 1na n= + D． 2 na n= 7． 在△ ABC 中有如下结论：“若点 M 为△ ABC 的重心，则 0MA MB MC+ + =     ”． 设 a，b，c 分别为△ ABC 的内角 A，B，C 的对边，点 M 为△ ABC 的重心．如果 得分 评卷人 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 高一年级试题（A 卷） （时间：120 分钟 满分：150 分） 高一年级 A 卷 - 2 - 3 0 3 aMA bMB cMC+ + =     ，则内角 A 的大小为（ ）． A．30° B． 45° C． 60° D． 90° 8．已知数列 { }na 的前 n 项和为 1, 1nS a = ，当 n ≥ 2 时， 12n na S n−+ = ，则 2017S 等于（ ）． A．1008 B．1009 C．2016 D．2017 9．已知集合 4 3Z , N 2 2 m xM m N x −   + = ∈ = ∈        ，则 M∩N=______． 10．若函数 ( ) 2 , 0 2 lg 0 x kx x f x x x x，  + ≤= −  > 有且只有 2 个不同零点，则实数 k 的取值范围是 ______． 11．已知 α为第一象限角，且 2 3 2sin sin cos , tan( ) 5 3 α α α α β+ = − = − ，则 tan(β-2α)=______． 12． 在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．若 6cos , b a C a b + = 则 tan tan tan tan C C A B + = ______． 13．设非零向量 a  与 b  的夹角是 5 6 π ，且 a a b= +    ，则 2a tb b +    的最