第七届高一试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

３７　 一、选择 第七届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(A卷) 题 １．定义两个向量a,b之间的运算“☉”为a☉b＝ (x１x２,y１y２)．其中a＝ (x１,y１), b＝ (x２,y２),若向量p＝ (１,２),p☉q＝ (－３,－４),则向量q等于(　　)． A．(－３,２) B．(３,－２) C．(－３,－２) D．(－２,－３) ２．设log２３＝３p,log３５＝q,则lg５＝ (　　)． A．p２＋q２ B．１５ ３p＋２q ( ) C． ３pq１＋３pq D．pq ３．已知集合M ＝ ３,log２x４{ },N＝ x,y{ },且M ∩N＝ ２{ },函数f:M →N满足: 对任意的x ∈ M,都有x＋f(x)为增函数,满足条件的对应法则的个数为 (　　)． A．０个 B．１个 C．２个 D．３个 ４．下表中所列的是某地区一年中十天的白昼时间．表中日期为(月、日) 日期 １．１ ２．２８ ３．２１ ４．２７ ５．６ ６．２１ ８．１４ ９．２３ １０．２５１１．２１ 小时 ５．５９ １０．２３１２．３８１５．９１１６．７１１９．４０１５．９３１２．６１ ９．１４ ５．４４ 某同学以日期为x轴(天),以白昼时长为y轴(小时),建立直角坐标系,绘出了 散点图(如图),他想用余弦曲线去拟合这些数据,经过查找资料,他建立了模型 y－１２．５ a ＝cos ２π(x－１７２) ３６５ æ è ç ö ø ÷,(a∈N∗),则a＝ (　　)． A．５ B．６ C．７ D．８ (第４题图) 　　　　　　　　　　 (第５题图) ５．如图,在矩形ABCD中放置了如图所示的５个大小相同的正方形,其中AB＝８, BC＝７,设PQ→ ＝ (a,－b),PR→ ＝ (b,a),考虑向量SU→ 与PT→ 可得正方形边长为 (　　)． !"#$! ３８　 A．５ B．５ ３６ C． １０５ ３２ D．４－ ２ ６．已知函数f(x)＝sinxx ,x为锐角,设 M＝f３(x)􀅰x２,N＝１８－１５f(x),则(　　)． A．M ＞ N B．M ＜ N C．M ≥ N D．M ≤ N ７．设数列an ＝ ∑ n i＝１ １ i ,则∑ ４９ i＝１ (２i＋１)ai－２５００a４９ ＝ (　　)． A．－１０２５ B．－１２２５ C．－１５００ D．－２５２５ ８．已知函数y＝f(x),x∈N∗ ,y∈N∗ ,满足: (ⅰ)对任意a,b∈N∗ ,a≠b,都有af(a)＋bf(b)＞af(b)＋bf(a); (ⅱ)对任意n∈N∗ 都有f[f(n)]＝３n． 则f(１)＋f(６)＋f(２８)＝ (　　)． A．５４ B．６６ C．８１ D．８９ 二、填空题 ９．现定义A－B＝{x|x∈A,且x∉B},若A＝ １,２,３,４,５{ },A－B＝ １,２,３{ }, 则集合B可以是 (写出一个即可)． １０．已知x＝ １＋π４ －１ ,y＝１－ １－π４ ,则x,y的大小关系是 ． １１．设f(x)＝ １２cos ２x＋ ３２sinxcosx＋２ ,x ∈ －π６ ,π ４[ ],则f(x)的值域为 ． １２．已知单位向量a、bn ＝ (cosnπ７ ,sinnπ７ ),则函数y＝ ∑ １４１ i＝１ bi＋a ２ 的最大值为 ． １３．对x∈R,定义符号函数sgn(x):当x＞０时,sgn(x)＝１;当x＜０时,sgn(x) ＝－１;当x＝０时,sgn(x)＝０．记点集S＝{(x,y)|xsgn(x－１)􀅰ysgn(y－１)＝１０, x＞０,y＞０},点集T＝ {(lgx,lgy)|(x,y)∈S)},点集T围成的区域的面积 为 ． １４．设正数列{an}(n≥０)满足 anan－２ a２n－１ － an－１an－２ a２n－１ ＝２(n≥２),且a０ ＝a１ ＝１, 则{an}的通项公式是 ． １５．１＋ １３ ２２ ＋ １３ ３２ ＋􀆺＋ １３ ２０１１３( )２ 的整数部分是 ． １６．若对于定义在R上的函数f(x),其函数图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈ R),使得f x＋λ( )＋λf x( )＝０对任意的实数x成立,则称f(x)是λ－伴随函 数．特别地,λ＜０时称f(x)为逆随函数．下列关于λ－伴随函数的叙述中不正 确的是 ． ３９　 ①f(x)＝０是唯一一个常值λ－伴随函数; ②f(x)＝x２ 是一个λ－伴随函数; ③ １２－ 伴随函数至少有一个零点; ④f x( )＝sinωx 是伴随函数仅当ω ＝mπ m ∈Z( )． 三、解答题 １７．在 △ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b２＋(２bc＋２c２)sin２A２＝c ２． (１)判断 △ABC 的形状,并加以证明; (２)当c＝１时,求 △