第二届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

７　 一、选择 第二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(初赛) 题 １􀆰函数y＝２x 的图象与函数y ＝２４－x 的图象的对称轴为(　　)． A．x＝－２ B．x＝２ C．x＝－４ D．x＝４ ２􀆰 等差数列{an}的公差d＝ １２ ,且a１＋a３＋a５＋􀆺＋a９９ ＝６０,则a２＋a４＋a６ ＋􀆺＋a１００ ＝ (　　)． A．８５ B．１４５ C．１１０ D．９０ ３􀆰设函数y＝f(x)满足f(x３＋１)＝x２＋ax＋１,且f(x)的最小值为３４ ,则a为 (　　)． A．－１ B．１ C．０ D．２ ４􀆰函数y＝sin２x－cosx的单调增区间为(　　)． A．２kπ,２kπ＋２π３[ ](k∈Z) B．２kπ＋π,２kπ＋４π３[ ](k∈Z) C．２kπ,２kπ＋２π３[ ],２kπ＋π,２kπ＋ ４π ３[ ] (k∈Z) D．不存在 ５􀆰在 △ABC 中,３bc＝a２－b２－c２,则此三角形(　　)． A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定是直角三角形 D．以上均有可能 二、填空题 ６􀆰已知A＝ {１,２,３,４},B＝ {０,１,２},定义集合A,B之间的运算“∗”:A∗B＝ {x |x＝log２x１ ＋２x２,x１ ∈ A,x２ ∈ B},则集合 A∗B 的所有子集的个数为 ． ７􀆰关于x的不等式２x ２＋２kx＋k ４x２＋６x＋３ ＜１的解集是R,则k的取值范围是 ． ８􀆰已知偶函数f(x)＝ １x－a－１ 的反函数f－１(x)的图象的对称中心是(０,４),则 a＝ ． !"#$! ８　 ９􀆰方程a－x ＝logax(a＞０且a≠１)的解的个数为 个． １０􀆰已知偶函数f(x)在[０,２]内单调递减,若a＝f(－１),b＝f(log０􀆰５ １４ ),c＝ f(lg０􀆰５),则a,b,c之间的大小关系是 ． 三、解答题 １１􀆰已知函数f(x)＝log３mx ２＋８x＋n x２＋１ 的定义域为R,值域为[０,２],求m,n的值． １２􀆰已知数列{an}的前n项和为Sn,a１ ＝２,nan＋１ ＝Sn＋n(n＋１)． (１)试写出{an}中an 与an＋１ 的关系式,并求数列{an}的通项公式． (２)设bn ＝ Sn ２n ,如果对一切正整数n都有bn ≤t,求t的最小值． ９　 １３􀆰已知集合M＝{a＋２cosθ,a＋cosθ,a},集合N＝{a,asinθ,asin２θ},且M＝N, 求实数a和θ的值． １４􀆰 已知定义域为(０,＋∞)的函数f(x),对任意x,y∈ (０,＋∞)恒有f(xy)＝ f(x)＋f(y)． (１)求证:当x∈ (０,＋∞)时,f １x æ è ç ö ø ÷＝－f(x)． (２)若x＞１,恒有f(x)＜０,求证:f(x)必有反函数． (３)设f－１(x)是f(x)的反函数,求证:f－１(x)在其定义域内恒有f－１(x１＋ x２)＝f－１(x１)􀅰f－１(x２)． !"#$! １３８　 ∴f(x)在R上为减函数, 由f(an＋２)＝f ((n＋３)an＋１) f((n＋２)an) ＝f((n＋３)an＋１ －(n＋２)an), ∴an＋２ ＝ (n＋３)an＋１ －(n＋２)an, ∴an＋２ －an＋１an＋１ －an ＝ n＋２． 而a１ ＝f(０)＝１, a２ ＝f(－２)＝f２(－１)＝３, ∴an －an－１ ＝n(n－１)􀆺３×２＝n!, ∴an ＝(an－an－１)＋(an－１－an－２)＋􀆺＋(a２ －a１)＋a１ ＝n!＋(n－１)!＋􀆺＋２!＋１, a１ ＝１,a２ ＝３,a３ ＝９,a４ ＝３３＝１１×３, a５ ＝１５３,a６ ＝８７３,a７ ＝５９１３, a８ ＝４６２３３＝１１×４２０３,a９ ＝４０９１１３, a１０ ＝４０３７９１３＝１１×３６７０８３, 当n≥１１时,n!是１１的倍数, 故所求的所有n值为４、８及n≥１０． 高一试题(初赛) 一、选择 第二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 题 １．B　 提示:由f(x)＝２x 与f(４－x)＝２４－x 可 知,当x＝４－x时,即x＝２为对称轴． ２．A　 提示:a２＋a４＋a６＋􀆺＋a１００ ＝ (a１＋a３ ＋a５ ＋􀆺＋a９９)＋５０d＝８５． ３．B　 提示:令x３＋１＝t,x＝ ３t－１,f(x)＝ ３x－１( ) ２ ＋ a ３x－１ ＋ １,f(x) ＝ ３x－１＋ a２( ) ２ ＋１－a ２ ４． 又 ∵f(x)的最 小值为３ ４ ,则a＝１． ４．C　 提示:y ＝－cos２x－cosx＋１即y ＝ － cosx＋ １２( ) ２ ＋ ５４ ,由 此 可 知 f(x)＝ cosx与y＝－ cosx＋