第一届高一试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

４　 一、选择题 １．已知p:|３x－４|＞２,q: １x２ 第一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(决赛) －x－２ ＞０,则 ┐p是 ┐q的(　　)． A．充分不必要条件 　　　　　　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ２．设f(x)＝ １,x为有理数, ０,x为无理数．{ 对所有的x均满足xf(x)≤g(x)的函数g(x)是 (　　)． A．g(x)＝sinx　　　B．g(x)＝x　　　C．g(x)＝x２　　　D．g(x)＝|x| ３．两个正项递增数列即等差数列{an}和等比数列{bn}满足a１＝b１,a４＝b２,a１３＝ b３,则b５ ＝ (　　)． A．a２７ B．a１２０ C．a１２１ D．a１２２ ４．已知函数f(x)＝e x＋１ ex－１ ,若g(x)＝f－１ (－x),则g(x)在区间(　　)． A．(－１,＋∞)上是增函数 B．(－１,＋∞)上是减函数 C．(－∞,－１)上是增函数 D．(－∞,－１)上是减函数 ５．若x∈ (－∞,－１],不等式(m－m２)４x＋２x＋１＞０恒成立,则实数m 的取值 范围是(　　)． A．m ＜－２或m ＞３ B．m ≤０或m ≥１ C．－２＜m ＜３ D．０≤m ≤１ ６．将正奇数１,３,５,７,􀆺 排成五列,如下图表,按图表的规律排下去,２００５所在的那 列,从左边数起是(　　)． １ ３ ５ ７ １５ １３ １１ ９ １７ １９ ２１ ２３ ３１ ２９ ２７ ２５ 􀆺􀆺 A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 二、填空题 ７．已知数列{an}是等比数列,前n项和Sn ＝３n＋k,则常数k＝ 　　　　　． ５　 ８．函数f(x)＝ax＋loga (x＋１)在[０,２]上的最大值与最小值之和为a２,则a的 值为　　　　　　　　． ９．集合A ＝ {x１,x２,x３,x４,x５},计算A 的二元子集中两元素之和组成集合B ＝ {３,４,５,６,７,８,９,１０,１１,１３},则A ＝ 　　　　　　　． １０．函数f(x)＝ x＋４－３x－５ 的值域是　　　　　　　． １１．已知函数f(x),g(x)在R上有定义,且f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y),若 f(１)＝f(２)≠０,则g(１)＋g(－１)＝ 　　　　． １２．设an ＝ １n２－４ ,S ＝１０００(a３ ＋a４ ＋ 􀆺 ＋a１０００),则最接近于S 的整数是 　　　　． 三、解答题 １３．已知sinαsinβ ＝p,cosαcosβ ＝q,且p≠±１,q≠０,求tanαtanβ的值． １４．某县位于沙漠地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到２００４年底全县的绿化率 已达到３０％,从１９９９年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的１６％ 将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化面积的４％ 又被沙化． (１)设全县面积为１,２００４年年底绿化总面积为a１ ＝ ３１０ ,经过n年后绿化总面 积为an＋１,试求an＋１ 与an 的关系式; (２)至少需要多少年的努力,才能使全县的绿化率超过６０％?(年取整数,lg２＝ ０．３０１０) !"#$! ６　 １５．已知二次函数f(x)＝ax２＋bx＋a,满足条件:f x＋７４ æ è ç ö ø ÷＝f ７４－x æ è ç ö ø ÷,且方程 f(x)＝７x＋a有两个相等的实根． (１)求f(x)的解析式; (２)是否存在实数m,n(０＜m ＜n),使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和 ３ n ,３ m[ ] ?如果存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由． １６．设f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R有f(x＋y)＝f(x)f(y),当x＜ ０时,f(x)＞１且f(－１)＝ ３,数列{an}满足a１ ＝f(０),a２ ＝f(－２)且 f(an＋２)＝ f[(n＋３)an＋１] f[(n＋２)an] ,试求所有的正整数n,使an 是１１的倍数． １３５　 即p＝－ １１６ 满足条件． １２．解:(１)S△BPR ＝ １２BP 􀅰BR􀅰sinB ＝ １２x (a－z)􀅰 ３２ ＝ ３ ４ (ax－xz), 同理S△PCQ ＝ ３４ (ay－xy), S△QAR ＝ ３４ (az－yz), S＝S△ABC －S△BPR －S△PCQ －S△QAR ＝ ３４a ２ － ３４ (ax－xz)－ ３４ (ay－xy)－ ３ ４ (az－yz) ＝ ３４ (a２ －ax＋xz－ay＋xy－az＋yz) ＝ ３４ [a２ －a(x＋y＋z)＋xz＋xy＋yz] ＝ ３４ (a２ －a２ ＋xy＋yz＋zx) ＝ ３４ (xy＋yz＋zx)． (２)３４ (xy＋yz＋zx)≤ ３４ (x２＋y２