第一届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１　 一、填空 第一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(初赛) 题 １．已知 M ＝ {x|x＝３n,n∈Z,１≤n≤４},N ＝ {x|x＝３n,n∈N∗ ,n＜４}, 且(M ∩N)⫋S⊆ (M ∪N),则满足条件的集合S的个数为 个． ２．定义在R上的函数f(x)的值域为[－３,２],则函数f(x＋a)的值域为 ． ３．如果函数f(x)满足f(n２)＝f(n)＋２,n≥２且f(２)＝１,那么f(２５６)＝ ． ４．已知函数f(x)对任意的x,y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且f(２)＝４, 则f(－１)＝ ． ５．若关于x的不等式|x－２|＋|x＋１|＜a有实数解,则实数a的取值范围是 ． ６．函数f(x)＝ １ ２x＋１ －１２ 是 函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既 奇又偶”)． ７．关于x的方程ax２＋２x＋１＝０至少有一个负根的充要条件是 ． ８．设命题p:关于x的方程２x＋mx－２ ＝－１ 的解为正解;命题q:函数f(x)＝－(５－ ２m)x 是减函数．若p或q为真,p且q为假,则实数m 的取值范围是 ． ９．若 △ABC 中,sinA ＝ ３５ ,cosC＝ ５１３ ,那么cosB的值为 ． １０．如果log４(x－２y)＋log４(x＋２y)＝１．则|x|－|y|的最小值为 ． 二、解答题 １１．函数f(x－２)＝ax２－(a－３)x＋a－２(a∈Z－)的图象经过点(m－２,０), m ∈R． (１)求函数f(x); (２)设g(x)＝f[f(x)],F(x)＝pg(x)＋f(x),问:是否存在实数p(p＜０), 使F(x)在区间(－∞,f(２)]上是减函数,且在区间(f(２),０)上是增函数? 证明你的结论． !"#$! ２　 ＋CQ＋AR ＝a的条件下移动,设BP ＝x,CQ ＝y,AR ＝z,△PQR 的面积 １２．如图,在边长为a的正 △ABC中,边BC、CA、AB上的点P、Q、R在满足条件BP 为 S． (１)试用x、y、z表示S; (２)求S的最大值． １３．已知下列三个关于x的方程x２＋４ax－４a＋３＝０,x２＋２ax－２a＝０,x２＋(a －１)x＋a２ ＝０中至少有一个方程有实数根,求实数a的取值范围． ３　 １４．设集合A ＝ {x|x２＋２x－８＞０}、B＝ {x|x２＋２kx－３k２＋８k－４＜０},且 A ∩B≠Ø,求实数k的取值范围． １５．已知函数f(x)＝ax－３２x ２ 的最大值不大于１ ６ ,又当x∈ １４ ,１ ２[ ]时,f(x)≥ １ ８ ,求实数a的值． !"#$! １３４　 参 考 答 案 高一试题(初赛 第一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 ) 一、填空题 １．７　 提示:M ＝ {３,６,９,１２},N ＝ {３,９,２７}, M ∩N ＝ {３,９},M ∪N ＝ {３,６,９,１２,２７}, 所以S的个数就是{６,１２,２７}的非空子集的 个数,共２３ －１＝７个． ２．[－３,２]　 提示:定义域和对应法则都不变, 所以值域也不变． ３．７　 提示:f(２５６)＝f(１６)＋２＝f(４)＋４＝ f(２)＋６＝１＋６＝７． ４．－２　 提示:f(２)＝f(１)＋f(１)＝４,所以 f(１)＝２;f(２)＝f(０)＋f(２),所以f(０)＝ ０．f(０)＝f(１)＋f(－１)＝０,所以f(－１)＝ ０－f(１)＝－２． ５．a＞３　 提示:|x－２|＋|x＋１|≥|２－x＋ x＋１|＝３,所以a＞３． ６．奇 　 提示:f(x)＋f(－x)＝ １２x ＋１－ １ ２ ＋ １ ２－x ＋１－ １ ２ ＝ １ ２x ＋１＋ ２x ２x ＋１－ １＝１－１ ＝０,所以f(－x)＝－f(x),f(x)为奇函数． ７．a≤１　 提示:a＝０时,x＝－ １２ 为负根,满 足条件;a≠０时,方程有根需Δ＝４－４a≥ ０,即a≤１．可以证明a≤１是方程至少有一 个负根的充要条件． ８．m＝－４　 提示:p为真时m ＜２,且m≠－４; q为真时,m ＜２．而p与q为一真一假,所以 m ＝－４． ９．１６６５　 提示:cosC＝ ５１３＜ ２ ２ ,所以π ４ ＜C＜ π ２ ;sinA＝ ３５ ＜ ２ ２ ,若A为钝角,则３π４ ＜A ＜π,于是A＋C＞ π４ ＋ ３π ４ ＝π ,矛盾．所以 A 为锐角,cosB＝cos(π－A－C)＝－cos(A ＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝ ３５× １２ １３－ ４ ５ × ５１３＝ １６ ６５． １０．３　 提示:x－２y＞０,x＋２y＞０,所以x＞ ２|y|．令|x|－|y|＝t＞０,由x２－４y２ ＝ ４得(|y|＋t)２ －４|y|２ ＝４,整理得 ３ |y|２ －２t