分离参数法解决不等式的恒成立-2023届高三数学二轮复习讲义

分离参数法解决不等式的恒成立 -------------------------------------------------知识点与方法总结----------------------------------------------------- 一、含参可导函数的不等式的恒成立与能成立问题相关结论 1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 与的定义域的交集为D若D 恒成立则有. 不等式在区间D上恒成立； 对、 ，恒成立，则. 2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． 3、若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 4、若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 5、含全称、存在量词不等式能成立问题 若对，，使得,则. 若对，，使得，则. 若，使得，则< . 二、分离参数法 1、在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值。 2、在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围；若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围，问题还是转化为函数求最值。 ---------------------------------------------------------题型归纳------------------------------------------------------【题模1】：分离参数法解决不等式的恒成立 【题模2】：利用分离参数法和导数解决不等式的恒成立 --------------------------------------------------------专题训练---------------------------------------------------------- 【题模1】 分离参数法解决不等式的恒成立 【讲透例题】 1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。 2、已知函数 （1）当时，求满足的实数的取值范围； （2）若对任意的恒成立，求实数的范围； 3、已知函数在上有意义，则取值范围是 . 【相似题练习】 1、已知函数，，其中．若对任意的（为自然对数的底数） 都有≥成立，求实数的取值范围． 2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。 【题模2】 利用分离参数法和导数解决不等式恒成立 1、已知函数，且在区间上为增函数．求实数的取值范围； 3、设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，， 若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围； 4、设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间 上，则称函数在区间上为“凹函数”，已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5、 已知函数f(x)=ex+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点(0,1)处的切线与x轴平行. （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f(x)≥(m-1)x+n恒成立，求m+n的最大值． 6、 设函数. (Ⅰ)若函数在处与直线相切,求函数上的最大值. (Ⅱ)当时，若不等式对所有的，都成立，求实数的取值范围. 7、已知函数 （I）求的单调区间； （II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。 8、已知函数，. (Ⅰ)讨论函数的单调性； (Ⅱ)时，有恒成立，求整数的最小值． 9、设a，b是实数，，已知函数f(x)= x3-6x2-3a(a-4)+b, g(x)=exf(x), （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线。 （i）求证：f(x)在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于的不等式g(x)≤ex在区间[x0-1, x0+1]上恒成立，求b的取值范围。 10、已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R． （I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性； （Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 11、已知为自然对数的底数）． （1）若在处的切线过点，求实数的值； （2）当时，恒成立，求