第十四讲“倍半角”模型解决旋转变换问题专题 压轴题专题讲义2023年九年级 中考数学总复习

第十四讲 “倍半角”模型解决旋转变换问题专题 内容提要 模型与方法一：等腰直角三角形角含半角模型 模型与方法二：正方形中角含半角模型 知识点拓展详解 模型与方法一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1） 作法1：将△ABD旋转90° 作法2：分别翻折△ABD,△ACE （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.. 任意等腰三角形 模型与方法二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF. 图示（3） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小 最新典型例题】 例题1.请阅读下列材料： 问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？ 小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系； （2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； （3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长． 【解答】解：（1）BM+DN＝MN；（2）DN﹣BM＝MN． 理由如下： 如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°， ∴△ABM≌△ADF （SAS）∴AM＝AF，∠MAB＝∠FAD． ∴∠MAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°． 又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．∵AN＝AN， ∴△MAN≌△FAN．∴MN＝FN，即 MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM； （3）∵正方形的边长为16，DN＝4，∴CN＝12．根据（1）可知，BM+DN＝MN， 设 MN＝x，则 BM＝x﹣4，∴CM＝16﹣（x﹣4）＝20﹣x．在Rt△CMN中， ∵MN2＝CM2+CN2，∴x2＝（20﹣x）2+122．解得 x＝13.6．∴MN＝13.6cm． 例题2.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE． （1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝　 　AD． （2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式． 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45° ∵AC＝CD，BC⊥AC，∴AB＝BD，∴∠BAC＝∠BDC＝45°，∴∠ABD＝90°， ∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，∴BD＝DE，∠BDE＝90°， ∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°， ∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，∴四边