江苏省贾汪中学2022年春季高一数学竞赛试题

2022 年春季贾汪中学高一数学竞赛试题 （总分 120 分） 一、单选题（每题 5分，共 40分） 1.已知 ) 6 cos() 6 sin(     +=− ，则 2cos 的值为（ ） A.1 B. 1− C. 2 1 D.0 2.若满足条件 60 , 3,C AB BC a=  = = 的 ABC 有两个，那么a 的取值范围是（ ） A．（1， 2 ） B．（ 2, 3） C． ( 3,2) D．（1，2） 3．当 4 0   x 时,函数 xxx x xf 2 2 sinsincos cos )( − = 的最小值是( ) A. 4 1 B. 2 1 C.2 D.4 4. 已知△ 外接圆的半径为 ，圆心为 ，且 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知 x、y 为正实数，且 lg2x+lg8y=lg4，则 的最小值是（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 6. 定义在 R 上的函数 ( )f x 满足： ( ) ( )3 0f x f x+ + = ，且函数 3 2 f x   −    为奇函数 .给出以下 3 个命题： ①函数 ( )f x 的周期是 6； ②函数 ( )f x 的图象关于点 3 ,0 2   −    对称； ③函数 ( )f x 的图象关于 y 轴对称 .其中，真命题的个数是 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 7. 设 ( ) 3 1 3 1 3 x x f x = − + ，若 x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 ( )y f x =  的值域是 （ ） A． 0, 1− B． 0,1 C． 1,1− D． 1,0,1− 8. 已知 0  ，函数 ( ) sin( ) 6 f x x  = + 在 ( , ) 2   上单调递减，则的取值范围是（ ） A． 2 4 [ , ] 3 3 B． 2 3 [ , ] 3 4 C． 2 (0, ] 3 D． 3 (0, ] 2 ABC 1 O 2OA AB AC+ + = 0 | | | |OA AB= CA CB 3 2 3 3 2 3 二、填空题（每题 6分，共 30分） 9. 已知 1 3 sin( ) 3 6  − = ，则 2 cos(2 ) 3  − =_________ 10. 设函数 ( )f x 的定义域是 *N ，且 ( ) ( ) ( )f x y f x f y xy+ = + + ， ( )1 1f = ，则 ( )25f ＝ _______ 11. 如图，线段 DE 把边长为2a的等边 ABC△ 分成面积相等的两部分， D 在 AB 上， E 在 AC 上，则线段DE 长度的最小值为_________． 12. △ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且 3 +4 +5 ＝ ，则 =ABCS ． 13. 已知集合 =+−+− }04)2(2)2(|{ 2 xaxax ，则实数 a的取值范围为_____. 三、解答题（14、15、16题 12分，17题 14分，共 50分） 14. 求𝑠𝑖𝑛 𝜋 18 𝑠𝑖𝑛 5𝜋 18 𝑠𝑖𝑛 7𝜋 18 的值 15. 已知函数 )(xf 满足： 2) 2 (,1)0( ==  ff ，且对任意的 Ryx , ， yxfyxfyxf cos)(2)()( =−++ 都成立，试求 )(xf . 16.已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， 3 sin cos 3 c B a b C= − （1）求 B ； （2）若D为 AC 的中点， 2BD = ，求 ABC 的面积的最大值. 17. 已知 cos , sin 4 4 x x a   = −    ， 3 cos ,cos 4 4 x x b   =     ， 3 ( ) 2 f x a b=  − ，将曲线 ( )y f x= 的图象向右平