解密11 导数在不等式恒等式和零点问题综合应用（讲义)-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密11讲：导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用 【考点解密】 考点一：利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路： 考点二：利用导数证明不等式的基本步骤： (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 【方法技巧】 方法点睛：与和相关的常见同构模型： （1），构造函数（或，构造函数）； （2），构造函数（或，构造函数）； （3），构造函数（或，构造函数）. 方法点睛:该题考查函数与导数的综合应用,属于难题,主要应用的方法有不等式放缩,关于常见的放缩有: (1); (2); (3); (4). 【核心题型】 题型一：导数在不等式恒成立问题 1．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）已知函数，对于，恒成立，则满足题意的的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·河南·统考一模）已知，若不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用导数研究能成立问题 4．（2023·广西柳州·二模）设函数（，e为自然对数的底数），若存在使成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·江西新余·统考二模）若存在两个正数，使得不等式成立，其中， 为自然对数的底数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：利用导数研究函数零点问题 7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，，，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2022·内蒙古呼伦贝尔·校考模拟预测）已知，若函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（） A． B． C． D． 题型四：利用导数研究函数的根问题 10．（2022·四川南充·统考一模）已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程的不同实根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D．2 12．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知函数，若函数与的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：利用导数研究函数的图像和性质问题 13．（2022·广东汕头·统考三模）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2022·天津·统考一模）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2023秋·天津北辰·高三校考期末）已知函数，若函数与的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：利用导数研究双变量问题 16．（2022·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2020·全国·模拟预测）已知函数，，实数，满足．若，，使得成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 题型七：利用导数解决实际问题 19．（2022春·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为（    ） A． B． C． D． 20．（2022·全国·模拟预测）如图所示，在正方体中，，点，，分别在棱，