解密12 平面向量（讲义）-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密12讲：平面向量 【考点解密】 考的一．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 考点三.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 考点四．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 考点五．平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2)平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)． 考点六．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0. 考点七.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]. 考点八.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 考点九.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 考点十.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【方法技巧】 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 【核心题型】 题型一：平面向量的基础知识 1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量，必有 D．若满足且与同向，则 2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·河南·校联考一模）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 B．若且，则 C．若G为的外心，则 D．若O为的垂心，则 题型二：平面向量的线性运算 4．（2023·湖南永州·统考二模）设为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 6．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：平面向量的共线定理 7．（2023·全国·高三专题练习）的外心满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E