福建省龙岩市2022-2023学年高二上学期期末教学质量检查数学试题

龙岩市2022～2023学年第一学期期末高二教学质量检查 数学参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A D D B C 8. 【详解】由得，则，即，又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，，选项A正确. 由得，则，，所以 ，选项B正确. 令，则 ，由得，由得，所以，，数列先增后减，故的最大项是在或时取得，又，，选项C错误. ， 则，选项D正确. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 9 10 11 12 答案 ACD BD BCD BCD 12. 【详解】由，两式相减得，所以数列是常数列，选项C正确；由得，又，两式相加得，所以是等差数列，选项D正确；由前面分析有，，是各项均为2的常数列，，，…，是以16为首项，16为公差的等差数列，所以，又数列的前50项和为1 275，所以，选项A错误；又，令得，联立方程组解得，，再由得，选项B正确.综上，选BCD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 14． 15． 16．； 16.【详解】 （1）设是椭圆上任意一点，，则 ， 当且仅当时取等号，故的最大值是. （2）设直线：，联立直线方程与椭圆， 可得，设，，则，.因为直线：与直线交于，则，同理可得，则 ， 法1：令，则， 当即时，取最小值. 法2：（柯西不等式） ， 当且仅当时取等号，故取最小值. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （本题满分10分） 解：（1）由题意设圆的方程为，代入和得，解得，所以圆的方程为. 5分 （2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即.圆心，弦心距，由垂径定理得，即，整理得，解得，或， 即直线的斜率为或. 10分 18. （本题满分12分） 解：（1）选①：由题意有，则，解得. 选②：由得，解得. 选③：， 由题意得，解得. 那么， 所以数列的通项公式. 6分 （2）由（1）得， 所以 . 12分 19. （本题满分12分） 解：（1）的通项公式为， 令，则， 由题意得，则，又，所以. 4分 （2）由（1）得. （i）令 得， ① 令 得， ② ①+②，得，即， ①—②，得，即， 所以. 8分 （ii）由（2）（i）知的通项公式， 则当0，2，4，6时，，，，； 当1，3，5，7时，，，，. 所以 12分 20. （本题满分12分） 解：（1）因为，所以点的轨迹是以点，为左、右焦点的椭圆，设其方程为，则，可得，又，则，所以轨迹的方程为. 4分 （2）①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，联立 解得：，，，不满足题意，舍去. 5分 ②若直线的斜率存在，则设直线的方程为，，. 联立，消去整理得， 所以，. , , , 所以，，， 或（舍）, 所以，直线的方程为或. 12分 21. （本题满分12分） 解：（1）设治理年后，该地区的年垃圾排放量构成数列. 当时，数列是首项为，公差为的等差数列， 则； 当时，数列是首项为，公比为0.9的等比数列， 则. 因此，治理年后，该地区的年垃圾排放量的表达式为 . 4分 （2）由（1）及题意得，所以时才有. 因此，即. 又，，所以，即. 因而该地区要实现目标，那么至少要经过11年. 8分 （3）设为数列的前项和，则． 由于 ， 由（1）知，时，，则为递减数列， 时，，则为递减数列， 且，因此为递减数列， 于是，，，…，， 因此， 所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势， 故认为现有的治理措施是有显著效果的. 12分 22. （本题满分12分） 解：（1）因为点在双曲线：上，所以，解得，或.又，则，所以双曲线：． 法1：，，易知直线的斜率存在，设：， 联立可得，所以， ，，化简得 ，且．由得， 即， 即， 所以， 化简得，即， 所以或． 当时，直线：过点， 与题意不符，舍去，故． 5分 法2：设直线方程为，联立可得 ，所以， ，同理可得， ，， . 5分 法3：令，，则，， 因为，所以， 化简得. 设直线的方程为，则， 所以， 两边同除以可得， 化简得， ，故． 5分 （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，∥，故直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，设，，，两渐近线的方程合并为，联立，消去并化简整理得，则， ． 因为，所以， 移项并利用平方差公式整理得： ， ， 即，即. 7分 由题意知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，， 可得， 因此直线的斜率， 直线：，即， 代入双曲线方程即中， 得， 解得的横坐标， 同理， 可得，， 所以， 10分 因为，解得，， 所以， ，