10.2 二倍角的三角函数（七大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

10.2 二倍角的三角函数 【题型归纳目录】 题型一：二倍角公式的简单应用 题型二：给角求值 题型三：给值求值 题型四：利用倍角公式化简及证明 题型五：辅助角公式的应用 题型六：三角函数的实际应用 题型七：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 【知识点梳理】 知识点一：二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 知识点二：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 知识点三：辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【典型例题】 题型一：二倍角公式的简单应用 【方法技巧与总结】 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 例1．（2023·河南·安阳37中高一期末）已知，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 例2．（2023·河北保定·高一阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，因此， 故选：A 例3．（2023·全国·高一课时练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 分子分母同时除以，得． 故选：D. 变式1．（2023·浙江·高一期中）若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D. 题型二：给角求值 【方法技巧与总结】 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 例4．（2023·全国·高三专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A 例5．（2023·全国·高三专题练习）计算：（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以原式 故选：C 例6．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考期末）（1）已知，且，求； （2）化简：. 【解析】（1），, 又 ， , ，,    ; （2） . 变式2．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得 . 故选：A. 变式3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A： ，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：， 所以， 所以，故C正确； 对于D： ，故D错误； 故选：AC 变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：ACD 题型三：给值求值 【方法技巧与总结】 (1)条件求值问题常有两种解题途径 ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：. 例7．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若，则________. 【答案】 【解析】 故答案为：. 例8．（2023浙江杭州·高三期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A． 例9．（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ， ， ， ， ， 故选：B. 变式5．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 变式6．（2023广西贵港·高一统考期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，所以，， 所以． 故选：C． 变式7．（2023·全国·模