10.3 几个三角恒等式（四大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

10．3 几个三角恒等式 【题型归纳目录】 题型一：积化和差与和差化积公式的应用 题型二：应用半角公式求值 题型三：三角函数式的化简 题型四：恒等式的证明 【知识点梳理】 知识点一：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 知识点二：积化和差公式 知识点诠释： 规律1：公式右边中括号前的系数都有． 规律2：中括号中前后两项的角分别为和． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 知识点三：和差化积公式 知识点诠释： 规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2． 规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘． 规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”． 规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘． 注意 1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系． 2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式． 3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的． 4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如． 5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式． 【典型例题】 题型一：积化和差与和差化积公式的应用 【方法技巧与总结】 （1）在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为与的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为与的和或差． （2）和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式． 例1．（2023·全国·高一专题练习）若， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，因为， 所以， 所以，所以， 故选：A． 例2．（2023·高一课时练习）求值：_____________． 【答案】 【解析】原式． 故答案为： 例3．（2023·高一课时练习）已知，，则__________. 【答案】 【解析】 故答案为： 变式1．（2023·高一课时练习）求值：__________. 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 变式2．（2023·高一课时练习）求值：. 【解析】原式 . 变式3．（2023·高一课时练习）在①；②；③这三个条件中任选两个，求值： (1)； (2)． 【解析】（1）若选①和②， 由得， 由得, 两式相加，得， 得. 若选①和③， 联立，解得， 则， 由得， 由得， 所以， 当时，， 当时，， 所以或 若选②和③， 由得， 由得， 所以， 所以 . （2）若选①和②， 由得， 由得， 所以， 所以. 若选①和③， 联立，解得， 由得， 由得， 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 当，时， . 所以或. 若选②和③， 由得， 由得， 所以， 所以， 所以，所以， 所以. 题型二：应用半角公式求值 【方法技巧与总结】 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用，计算． （4）下结论：结合（2）求值． 例4．（2023河北沧州·高一统考期末）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：∵，， ∴. 方法二：∵，， ∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即， ∴ 故选：C 例5．（2023·高一课时练习）等腰中，顶角满足，则底角的正弦值为（　    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设其中一底角为，根据等腰三角形性质，则有，即，，由得， 又因，所以 故选A 例6．（2023河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知点是角的终边上一点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由三角函数的定义可得，， 所以，. 故选：A. 变式4．（2023内蒙古兴安盟·高二校考阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，∵， ∴由半角公式可得. 故选：B 变式5．（2023河北石家庄·高三统