2023届西安交通大学少年班第二次阶段性联考数学试卷

2023 届西交大少年班第二次阶段性联考 数学试卷 考试时间：100min 满分 100 分 1.（5 分）若二次函数 � = � − 3 2 − 2 的图像与 �轴交于两点 �1, 0 , �2, 0 ,则 �1�2+�1 �2+ �1�2 + �1�2−�2 �1− �1�2 = ________________. 2.（5 分）在锐角△ ���中, �、�、�分别是 ∠�、 ∠�、∠�的对边,且 ∠� = 60∘.则 � �+� + � �+� =_________________. 3.（5 分）在△ ���中,已知 �� = 13, �� = 12, �� = 5, �为边 ��的中点, �� ⊥ ��且与 ∠���的平分线交于点 �.则 ��的长为______________. 4.（5 分）已知 10个两两互不相等的正整数 �1, �2, ⋯, �10 满足条件 �2 = �1 + �5, �3 = �2 + �6, �4 = �3 + �7, �6 = �5 + �8, �7 = �6 + �9, �9 = �8 + �10.   (4) 则 �4 的最小可能值为________________. 5.（5 分）如图 ,已知直线 � = 1 2 �与抛物线 � =− 1 4 �2 + 6交于 �、�两点,点 �在 直线��上方的抛物线上运动.当△ ���的面积最大时,点 �的坐标为___________. 第 1 页，共 3 页 6.（5 分）已知函数 � � = �2 + 2 � > 0 .则 � = � 1002 + � 1003 +⋯+ � 2005  (6) 的整数部分为______________. 7.（5 分）已知关于 �的方程 ||� − 2 − � + 7|| = �  (8) 有两个实根.则 �的取值范围是______________ . 8.（5 分）已知直角三角形的两条直角边 �、� � ≤ � 及斜边 �均为整数,且其内切 圆的半径 � = 3.则这样的直角三角形有_____________个. 9.（5 分）如图,在 Rt △ ���中,已知 �是斜边 ��的中点, �� ⊥ ��于点 �,�� ⊥ ��于点 �.若 ��、��、 ��的长都是有理数,则线段��、��、��、��中,长不 一定是有理数的为_________________. 10.（5 分）设实数 �, �, �, �, �满足 � < � < � < � < �，且任意两数之和共 10个数 中最小的三个数是 32、36、37,最大的两个数是 48、51.则 � =_____________. 11、(10分)设由不超过 1000的两个正整数组成的数对 �, � 满足 � � + 1 < 2 < �+ 1 � .  (15) 求出所有这样的数对 �, � 的个数. 第 2 页，共 3 页 12、(20分)已知实数 �、�、�、�满足 � + � + � + � = 4, �� + �� + �� + �� + �� + �� =− 14 3 .求 � + � + �的最大值和最小值. 13、(20 分)如图 ,已知 ��、��分别与⊙�切于点 �、�,过点 �的割线与⊙�交 于 �、�两点,作 ��//��与弦 ��交于点 �, ��的延长线与��交于点�.证明: �� = ��. 第 3 页，共 3 页 2023届西交大少年班第二次阶段性联考 理综试卷 1.(5分)若二次函数=(-3)2-2的图像与轴交于两点(1,0)，(2,0)，则 12+兰+122= 2+V121-√12 解：9 依题意有=2一6+7.由韦达定理得 1+2=6,12=7. (1) 故原式=得+得=崇=织 2.(5分)在锐角△ 中，、、分别是∠、∠、∠的对边，且∠=60°.则 +十+= 解：1. 如图，作上 于点.则 1 2 人60 =2 (2) -(受)+(=+ (3) (+)(+) 2+2++一=1. =2+++ 3.(5分)在△ 中，已知=13，=12，=5，为边 的中点，⊥ 且与∠ 的平分线交于点.则的长为 解：号 如图，联结.易知∠=90°.由平分∠得∠=45°.则=45°+∠ 而=，故2=45°-∠.因为1，所以，∠=90°-=45°-∠= ∠.从而 === 13 4.(5分)己知10个两两互不相等的正整数1,2，，10满足条件 2=1+5,3=2+6, 4=3+7,6=5+8, (4) 7=6+9,9=8+10: 则4的最小可能值为 解：20. 易得 4=3+7 =1+5+6+6+8+10(5) =(1+10)+3(5+8). 欲使4最小，则5、8应尽可能小.而它们两两不等，不妨取5=1,8=2，则 6=3;再取1=4，则2=5,