热点5-1 平面向量的概念、线性运算与基本定理5大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点5-1 平面向量的概念、线性运算与基本定理5大题型 平面向量属于高考的必考内容，主要以客观题的形式出现，也与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。这部分内容在备考时应注意加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式。 一、平面向量多边形法则 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即,特别地,一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 二、向量共线问题的注意事项 1、向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用． 2、证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． 三、“爪”子定理 形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果，，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则． 　　　　　 形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则． 形式1与形式2中与的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐) 四、利用平面向量的线性运算把一个向量表示为两个基向量的一般方法 向量的确定方法 1、在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量用，的表示． 2、若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到与的方程组，再进行求解． 五、利用平面向量的线性运算求参数的一般方法 向量方程中x，y的确定方法 1、在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量的表示，进而确定x，y． 2、若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于x，y的方程组，再进行求解． 3、若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于于x，y的方程组，再进行求解． 3、对于求x＋y的值的有关问题可考虑平面向量的等和线定理法。 【题型1 平面向量的基本概念】 【例1】（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ） A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量，必有 D．若满足且与同向，则 【变式1-1】（2022秋·四川成都·高三校考期中）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式1-2】（2022秋·吉林·高三校考期末）（多选）下列命题正确的有（ ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D．“若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形” 【变式1-3】（2022秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．若向量，满足，与同向，则 B．若两个非零向量，满足，则，是互为相反向量 C．的充要条件是与重合，与重合 D．模为是一个向量方向不确定的充要条件 【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有______个. 【题型2 平面向量的线性运算】 【例2】（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（ ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）在中，满足，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则等于（ ） A