专题20 解析几何中的范围、最值和探索性问题（练）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题20 解析几何中的范围、最值和探索性问题（练） 【对点演练】 一、单选题 1．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．2 2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ）． A．2 B． C．3 D．4 3．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到抛物线的准线和直线的距离之和的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知椭圆，，是其左、右焦点，点在椭圆上且满足.若到直线的距离为，则的最小值为______. 6.（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，圆，过的直线与交于两点，与 交于 两点，且在同一象限，则的最小值为_____． 7．（2022·湖南·模拟预测）已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________． 三、解答题 8．（2023·四川成都·统考一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形．经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值及此时直线的方程． 9．（2023·陕西渭南·统考一模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸. (1)以点、所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程； (2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由. 10．（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）已知点在椭圆上，且长轴长为4. (1)求椭圆C的方程： (2)过点的直线与椭圆C相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点.求的面积的取值范围. 【冲刺提升】 一、单选题 1．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 二、多选题 2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点为，，点，，为椭圆上一动点，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的有（    ） A．若的垂直平分线过点，则 B．的最小值为 C．若，则的面积的最大值为 D．若的面积取最大值时的直线不唯一，则 三、填空题 3．（2022·全国·高三专题练习）已知点为抛物线的焦点，过作直线与抛物线交于两点，以为切点作两条切线交于点，则的面积的最小值为___________. 4．（2023秋·山东德州·高三统考期末）如图所示，已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，则的取值范围为______；记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则的取值范围是______． 5．（2022秋·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知抛物线E：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，为的中点，且，则_____________；设点是抛物线上的任意一点，抛物线的准线与轴交于点，在中，，则的最大值为_____________． 四、解答题 4．（2023·贵州·校联考一模）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由． 5．（2023·福建·统考一模）已知椭圆的离心率为，其左焦点为． (1)求的方程； (2)如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由． 6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为F，过点的直线与相交于A，B两点.当直线经过点时，点A恰好为线段PF的中点. (1)求