微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究 【秒杀总结】 1、基本思路 （1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证. （2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），由此得出问题的结论. （3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤. 2、技巧总结 （1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在. （2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明. （3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）. （4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论. 【典型例题】 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线l2：，且l2与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2． (1)求抛物线C的方程； (2)点M在直线l1上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P1，P2，在平面内是否存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）作PA，PB分别垂直l1和l2，垂足为A，B，抛物线C的焦点为， 由抛物线定义知|PA|＝|PF|，所以d1+d2＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|， 显见d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离， 故，解之得或（舍） 所以抛物线C的方程为x2＝4y． （2）由（1）知直线l1的方程为，当点M在特殊位置时， 显见两个切点P1，P2关于y轴对称，故要使得MN⊥P1P2，点N必须在y轴上． 故设M，N，，， 抛物线C的方程为，求导得，所以切线MP1的斜率， 直线MP1的方程为，又点M在直线MP1上， 所以，整理得， 同理可得， 故x1和x2是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根， 由韦达定理得， ， 可见n＝1时，恒成立， 所以存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立． 例2．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆E的方程为（a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点（t≠1），问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值，若不存在，说出理由． 【解析】（1）设点M的坐标，点M在线段AB上，满足， ∴，， 故，，因为， ∴，解得：a＝2， ∴椭圆E的方程； （2）设直线l方程：，代入， 得， 设，则，， 假设存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B，则． ∴， ， 即， 得， 整理得， ∵， ∴， 故当时，符合题意． 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为. (1)求双曲线的方程； (2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点. ①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ②证明：直线恒过定点. 【解析】（1）由题意知，直线的斜率为，设， 由题意，两式相减得：， 整理得：，即， 又，所以，即双曲线， 经检验满足题意. （2）①因为的斜率存在且，设，， 联立，消去整理得：， 由题意得，解得 又，设直线， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，， 于是， 故，同理可得， ，， 为定值，所以的值 ②由①知（*）， 由对称性知过的定点在轴上，在（*） 令，得， 解得 直线恒过定点 例4．（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆是左、右焦点．设M是直线l：上的一个动点，连结，交椭圆Γ于N（）．直线l与x轴的交点为P，且M不与P重合． (1)若M的坐标为，求四边形的面积； (2)若PN与椭圆Γ相切于N且，求的值； (3)作N关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由椭圆方程可得，∴，，， ∴直线为，联立，整理可得：， 解得或，由，可得，∴， ∴； （2）由于直线PN的斜率必存在，则设直线PN的方程：， 与椭圆方程联立，可得：， 由相切得，得，且，即，故， ，故 ，解得， 而，所以，满足，所以， 可得x轴，所以； （3）由于N与，与是两组关于原点的对称点，由对称性知， 四边形是平行四边形，则与平行，故上的任一点到的距离均为两条平行线间的距