微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究 【秒杀总结】 1、三角形面积问题 模型一：基本方法 模型二：分割三角形 模型三：三角形面积坐标表示 模型四（面积比）： “等角”“共角”“对顶角” 蝴蝶模型 蝉模型 2、四边形面积问题 模型一 模型二 模型三 3、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 4、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【典型例题】 例1．（2023·宁夏银川·一模）如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、. (1)证明：以为直径的圆经过点； (2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围. 【解析】(1)证明：若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为. 由得， 设、，则、是上述方程的两个实根， 于是，. 又因为点， 所以， 所以，即，所以为直径的圆经过点. (2)解：由已知，设的斜率为，则的方程为， 由解得或，则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得点的坐标为. 所以， 由得，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得点的坐标， 于是， 因此， 当时，即当时，等号成立， 所以，所以的取值范围为. 例2．（2023·浙江·模拟预测）如图，点A，B是椭圆与曲线的两个交点，其中点A与C关于原点对称，过点A作曲线的切线与x轴交于点D．记△ABC与△ABD的面积分别是，． (1)证明：； (2)若，求的最大值． 【解析】(1)由题设，令，且，则， 又，得证. (2)由（1）得：直线为，则到直线的距离为； 由且，则，故过A的切线为， 令，可得，即，所以到直线的距离为； 又， 所以，， 故， 根据在椭圆上，则，可得，且， 综上，且， 所以，当时，，此时，则，故. 例3．（2023·河南·一模（理））已知点F为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若M为椭圆C上的点，以M为圆心，长为半径作圆M，若过点可作圆M的两条切线(为切点)，求四边形面积的最大值. 【解析】（1）根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为3，最小值为1. 所以，解得， 所以 因此椭圆的标准方程为 （2）由（1）知，为椭圆的左焦点， 根据椭圆定义知，， 设， ∵点在圆外，∴，∴ 所以在直角三角形中， ，， 由圆的性质知，四边形面积，其中. 即. 令，则 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，在时，取极大值，也是最大值 此时. 【点睛】 关键点点睛：（1）椭圆上长轴上的两个顶点到焦点的距离即为椭圆上的点到焦点的距离最值；（2）将四边形的面积表示为关于的函数，通过导数求最值即可. 例4．（2023·天津·南开中学二模）已知椭圆的左右焦点分别是和，离心率为，点P在椭圆E上，且的面积的最大值为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l过椭圆C右焦点，交该椭圆于A､B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于P，记的面积为，的面积为，若，求直线l的方程. 【解析】（1）依题意，显然当P在短轴端点时， 的面积最大为， 即，又由离心率为，， 解得，，， 所以椭圆C的方程为. （2）因为， 所以， 所以，所以， 当AB斜率不存在时，，不合题意， 当AB斜率存在时，设直线方程为， 设点，， 则，两式作差得：， 即， 故直线OP的方程为：， 联立，解得， 联立，解得， 因为，所以， 即，解得：， 所以直线AB的方程为. 例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，直线l与椭圆C交于两点，且，当（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程． 【解析】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）显然，直线的斜率存在， ①当时，可设直线的方程为由可设， 则，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为； ②当时，可设直线的方程为即，， 联立，消去整理得， 由，得（*）， 则有， 于是可得的中点为即，