微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究 【秒杀总结】 1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程； ④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 2、定比点差法 3、非对称韦达与对称韦达 4、先猜后证 5、硬解坐标 【典型例题】 例1．（2023·江西赣州·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)点，点A，B在椭圆上，点N在直线：，满足，，试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【解析】(1)解：由椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上， 因为，可得，即， 又由面积的最大值为，可得，即， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为. (2)解：由，，可得点四点共线，如图所示， 设过点的直线方程为，即， 联立方程组，整理得， 设，则， 联立方程组，可得，即， 因为，，可得， 所以 则 ， 所以为定值. 例2．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知椭圆的焦距为2且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆的左右焦点为， 由焦距为2可得，① 由椭圆过点可得②， 由①②可得， 所以椭圆C的方程为； （2）设，，显然直线l的斜率存在． 直线l的方程为，联立方程组 消去y得，由，得， 所以，． 因为点，所以直线AD的方程为． 又， 所以直线AD的方程可化为， ， 即， 所以直线AD恒过点． 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E：的离心率为2，左、右焦点分别为，点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：的一条切线AM，切点为M，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设直线与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为，直线 AD， BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由． 【解析】（1）双曲线的离心率为，因为双曲线上点切圆C：于M，且， 则，即，即， 故双曲线E的标准方程为. （2）弦PQ过定点，理由如下： 由（1）得，则，. 则直线为，联立得， 则，，， ， ，由得， . ∴，∴为圆C的直径，故弦PQ恒过圆心 例4．（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点. 【解析】（1）由双曲线可得渐近线为， 不妨取渐近线即 由焦点到渐近线的距离为可得，即 由题意得，得， 从而双曲线的方程为. （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为， 由题意可知：直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 于是， 从而， 化简得，从而过定点. 例5．（2023·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，且，以为圆心，为半径的圆经过点. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于， （ⅰ）设点在第一象限，且直线与交于.若，求的值； （ⅱ）连接交圆于点，射线上存在一点，且为定值，已知点在定直线上，求所在定直线方程. 【解析】（1）以为圆心，为半径的圆经过点，，即， ，，，， 椭圆的方程为：. （2）（ⅰ）由（1）得：，可设，， 由得：，即； 由得：， ，， ，，； 在中，由正弦定理得：， ，， 则由得：， ，，即， ，， ，解得：或. （ⅱ）由题意知：圆方程为：；，； 不妨令位于第一象限，可设， 由（ⅰ）知：， 若直线斜率存在，则，直线， 由得：，， 设，则， ； 当时，为定值，此时，则，此时在定直线上； 当时，不为定值，不合题意； 若直线斜率不存在，则，，， 此时，则直线，设， 则，，， 则时，，满足题意； 综上所述：点在定直线上. 例6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆（a＞b＞0），左顶点为A，上顶点为B，且，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为． (1)求C的方程； (2)若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则， 因为，直线的斜率为， 所以，又， 解得