微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究 【秒杀总结】 交点轨迹问题的常用技巧： 1、两直线方程相乘消元 2、两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元 3、定比点差法 4、同构 5、硬解坐标 【典型例题】 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若是线段的中点，求直线的方程； (3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由. 【解析】(1)由题意得：，，. 解得，，所以双曲线的标准方程为. (2)方法1：设，则 依题意有解得， 所以直线的方程为或. 方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得： . 当时 设，，得，. 又因为，所以，，解得. 此时，所以直线MN的方程为或. (3)方法1：设，， 直线PM的方程为，直线ON的方程， 联立两方程，可得① 结合（2）方法2，可得 代入①得 故. 所以直线PM与QN的交点在定直线上. 方法2：设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得： . 设，，，，由根与系数的关系，得 ，. ：，：，联立两方程，可得： ， 解得 所以直线PM与QN的交点在定直线上. 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点； (3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程． 【解析】(1)设抛物线的方程为， ∵抛物线的焦点到直线的距离为， ∴，解得或（舍去， ∴，， ∴抛物线的方程为． (2)设，，设切点为，曲线，， 则切线的斜率为，化简得， 设，，，则，是以上方程的两根， 则，， ， 直线的方程为：，整理得， ∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上， ∴，即直线的方程为：，化简得， 又∵，∴， 故直线过定点． (3)设，，， 过的切线，过的切线， 则交点， 设过点的直线为， 联立，得， ∴，， ∴， ∴． ∴点满足的轨迹方程为． 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且为坐标原点），于点．试求点的轨迹方程． 【解析】(1)由题意知：，，，解得，． 故椭圆的方程为． (2)设，，，， （i）若轴，可设，，因，则，．由，得，即； 若轴，可设，同理可得； （ii）当直线的斜率存在且不为0时，设， 由，消去得：， 则， ， 由，知．故， 即（记为①． 由，可知直线的方程为， 联立方程组，得（记为②， 将②代入①，化简得． 综合（1）、（2），可知点的轨迹方程为． 例4．（2023·全国·高三开学考试）椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)，分别为椭圆的左､右焦点，动点A，B在椭圆上（不含长轴端点），且关于y轴对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线与的交点在定圆上. 【解析】(1)解：由得，由，所以， 把点代入方程得，所以， 所以椭圆的方程为. (2)解：设，，， 由方程：，得， 由BP方程：，得， ∴的方程为，① 的方程为，② 由①②相乘得，③ 由，在椭圆上可得，， 代入③式可得：， 即直线与的交点在定圆上. 例5．（【全国市级联考】山西省晋中市2023届高三1月高考适应性调研考试数学（理）试题）已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （）的右焦点，且两曲线有公共点 （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. 【解析】试题分析：（1）由条件易得：，从而得到椭圆的方程； （2）先由特殊位置定出，猜想点在直线上，由条件可得直线的斜率存在， 设直线，联立方程，消得：有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可. 试题解析： （1）将代入抛物线得 ∴抛物线的焦点为，则椭圆中， 又点在椭圆上， ∴，  解得， 椭圆的方程为 （2）方法一 当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，，则直线和直线，联立，解得， 当点为椭圆的下顶点时，由对称性知： . 猜想点在直线上，证明如下： 由条件可得直线的斜率存在， 设直线， 联立方程， 消得：有两个不等的实根， ， 设，则， 则直线与直线 联立两直线方程得（其中为点横坐标） 将代入上述方程中可得， 即， 即证 将代入上式可得 ，此式成立 ∴点在定直线上. 方法二 由条件可得直线的斜率存在， 设直线 联立