微专题16 立体几何经典题型精练-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题16 立体几何经典题型精练 【典型例题】 例1．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE. (1)求证：E为棱SC的中点； (2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值. 【解析】（1）连AC交BD于F，连EF． ∵ABCD是平行四边形，∴ ∵直线平面BDE，面PAC，面面， ∴，由是中点， ∴E为棱SC的中点； （2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG ∵侧面SCD满足，不妨设 ∴， ∵平面平面ABCD，平面平面 ∴平面ABCD，又平面ABCD，故， ∵ ∴ ∵ ∴    ，∴，又，平面， ∴平面 ∴是二面角的平面角 ∴，又， ∴∴∴ ∴∴ ∴，∵ ∴，∴平面ABCD ∴为直线EB与平面ABCD所成的角 ，即直线EB与平面ABCD所成的角的正切值为 例2．（2023·浙江·三模）如图，四面体的棱平面，． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的正切值为，线段与平面相交，求平面与平面所成锐二面角的正切值． 【解析】(1) 作于M，连接，则，，则， 则，故．又，则，又，平面，故平面， 又平面，则平面平面． (2) 作于G，于H，由（1）知，又，平面，则平面， 又平面，则，又，同理可得平面，，则三点共线． 由平面与平面所成锐二面角的正切值为，则，又，则．又， 则，，则．延长交于点N，连接，作于K， 易得，又，平面，则平面，又平面，则， 则平面与平面所成锐二面角即．又，则，又，则， 故，故． 例3．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）如图（1），在正方形中，、、分别为、、的中点，点在对角线上，且，将、、分别沿、、折起，使、、三点重合（记为），得四面体（如图（2）），在图（2）中. (1)求证：平面； (2)在上，求一点，使二面角的大小为. 【解析】（1）在图（1）中，连接，设，S为的中点，连接、，，，而分别是的中点，则，，于是， 又，则为的中点，也为的中点. 在图（2）中，的中点为，连接，又为的中点，∴ ∵不在平面内，在平面内，∴平面. （2）由题意知，在图（2）中，直线、、两两互相垂直，且相交于一点. ∴以为原点，分别以直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 设正方形的边长为，则，，，，，，， 设， ∴， 设平面的一个法向量为，则得，得，取，得，∴， 又知平面的一个法向量为，∴，即，即， 解得. ∴所求的点在上靠近的三等分点处. 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问： (1)若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明； (2)若梯形为等腰梯形，，折叠前，当折叠至面垂直于面时，二面角的余弦值． 【解析】（1）假设折叠过程中能使． 折叠前，假设，E为垂足，连，则与不垂直．① 折叠后，若，又与是平面内的相交直线， 故平面，又平面，从而有， 故折叠前也应有②.显然，①与②矛盾．故假设不能成立． 即折叠过程中不能使． （2）设折叠前与的交点为F，则由题意易知． 折叠前，在梯形内过B做，垂足为G， 则． 折叠后，因为面垂直于面，而，所以． 所以， 又和是平面内的相交直线，所以平面．所以． 解法①：过点C在平面内作，H为垂足，连接， 又，则平面，又平面，所以， 故即为二面角的平面角． 在中，， 所以，又，则 得，又， 所以， 即二面角的余弦值为． 解法②：以F为原点，分别以FD、FC、FB为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图， 则． 于是，， 设平面的一个法向量为，则 则，令，则，则， 设平面的一个法向量，则 则，令，则，则， 记二面角的平面角为， 则． 又观察发现二面角为钝角，故二面角的余弦值为． 例5．（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点. (1)求证：； (2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围. 【解析】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以， 又平面平面，且平面平面平面， 所以平面平面. 所以 （2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知， 所以，所以在中，就是异面直线与所成的角. 因为异面直线与所成角的正切值为， 所以，即 又平面平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以 所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l. 以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设. 因为为正三角形所以，从而 由已知E，F分别是的中点，所以 则，所以，