解密09 解三角形（讲义）-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密09 解三角形 【考点解密】 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 3．测量中的有关几个术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角， 通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 方法技巧 图形 关系式 a<bsin A bsin A<a<b a＝bsin A或a≥b 解的个数 无解 两解 一解 【核心题型】 题型一：正余弦定理 1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中，角的对边分别为，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2023·四川内江·统考一模）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，，则（    ） A．4 B． C． D． 3．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的面积为，且，的中点为D，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 题型二：边角互化 4．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（2022·全国·高三专题练习）秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·山西吕梁·统考二模）锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：三角形面积公式巧用 7．（2023·广西柳州·二模）在中，内角所对的边分别为，点为的中点，，，且的面积为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．（2023·广西柳州·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为（    ） A．21 B．24 C．27 D．36 9．（2023·全国·高三专题练习）设，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型四：解三角形的实际应用 10．（2023·四川凉山·统考一模）我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆，（，，共面，均垂直于地面），使目测点与，共线，目测点与，共线，测出，，，即可求出岛高和的距离（如图）．若，，，，则海岛的高（    ） A．18 B．16 C．12 D．21 11．（2022·四川南充·统考一模）某工厂的烟囱如图所示，底部为，顶部为，相距为的点，与点在同一水平线上，用高为的测角工具在，位置测得烟囱顶部在和处的仰角分别为，.其中，和在同一条水平线上，在上，则烟囱的高（