存在性问题系列： 特殊四边形的存在性问题 2023年九年级数学中考复习

存在性问题系列： 特殊四边形的存在性问题 2023九年级数学中考复习 1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两轴于点、，点的横坐标为4，点在线段上，且． （1）求点的坐标； （2）求直线的解析式； （3）在平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，不必说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过 点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的函数解析式． （2）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说 明理由． 3．如图1，已知直线分别与双曲线，交于，两点，且， （1）求的值； （2）如图2，若是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线 于，，连接，设点的横坐标为．当时，为直线上的一点，若以， ，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，边 长为的等边，边在轴上，将此三角形沿着轴的正方向平移，在平移过程 中，得到△，当点与原点重合时，解答下列问题： （1）求出点的坐标，并判断点是否在直线上； （2）求出边所在直线的解析式； （3）在坐标平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 5．如图1，直线与轴，轴分别交于，两点，过点做交轴于点，将直线沿着轴正方向平移个单位得到直线交直线于点，交轴于点，将沿直线翻折得到点． （1）若，求点； （2）若的面积等于，求的解析式； （3）在（1）的条件下，将绕点旋转得到△，点是直线上一点，在直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，点从点 出发沿射线方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时点从点出发沿射线 方向以每秒个单位长的速度匀速运动．设点、运动的时间是秒．过点作 于点，连接、，是否存在这样一个时刻，此时以点、、、为 顶点的四边形是菱形？如果存在，求出相应的的值；如果不存在，请说明理由． 7．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且经过点． （1）求的值； （2）若， ①求的值； ②点为轴上一动点，点为坐标平面内另一点．若以，，，为顶点的四边形 是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系内，的顶点、、、的坐标分别为、 、、、，过点的直线与平行，的延长线交于点，点 是直线上的一个动点，交于点． 当四边形为菱形时， ①请求出点的坐标； ②请求出的度数． 9．如图，在平面直角坐标系中，梯形的四个顶点的坐标分别是、、，，，直线平分梯形的面积，且与线段、交于点，． （1）求的值； （2）设点是直线上一点，点在第四象限，且以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 答案版： 1． 【解答】解：（1）直线分别交两轴于点、， 当时，，当时， 点，点 点在线段上，且． 点 （2）点的横坐标为4，且在直线上， 点 设直线的解析式 解得：， 直线解析式为： （3）设点 若以，为边， 四边形是平行四边形 ，互相平分 点，点，点，点 ， 点 若以，为边 四边形是平行四边形 ，互相平分 点，点，点，点 ， 点 若以，为边， 四边形是平行四边形 ，互相平分 点，点，点，点 解得：， 点 综上所述：点的坐标是，，， 2． 【解答】解：（1）当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 点为线段的中点， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的函数解析式为． （2）设点的坐标为． 分三种情况考虑（如图所示） ①当为对角线时，， 解得：， 点的坐标为； ②当为对角线时，， 解得：， 点的坐标为； ③当为对角线时，， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：在坐标平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 点的坐标为，或． 3． 【解答】解：（1）设点坐标为，则点的坐标为． 点在双曲线上，点在双曲线上， ， ． （2）分两种情况考虑： 当为边时，如图3所示． 四边形为平行四边形， ，， 点的坐标为，， ，即或， 解得：，（舍去），，（舍去）， 点的坐标为或，； 当为对角线时，如图4所示． 四边形为平行四边形， ，， 点的坐标为，， ，即或， 解得：，（舍去），，（舍去）， 点坐标为，或． 综上所述，点的坐标为或，或，． 4． 【解答】解：（1）过点作轴于点，如图1所示． △是边长为的等边三角形， ，， 点的坐标为，． 当时，， 点在直线上． （2）△是边长为的等边三角形， ， 点的坐标为，． 设边所在直线的解析式为， 将，、，