河南省郑州市2023届高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题

郑州市2023年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合,．则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（ ） A. 或 B. 或 C. 或1 D. 或 3. 已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 4. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素（也称互质）的正整数的个数，例如，，．则（ ） A. 数列单调 B. C. 数列是等比数列 D. 5. 若实数,满足约束条件,则的（ ） A. 最大值为4 B. 最小值为4 C. 最大值为5 D. 最小值为5 6. 设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法： ①； ②； ③在上单调递增； ④为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度． 以上四个说法中，正确个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（ ） A. 24 B. 12 C. D. 9. 记的内角，，的对边分别为，，，已知角，，则角（ ） A. B. C. D. 10. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．则下列结论错误的是（ ） A. 该模型外接球的半径为 B. 当时，的长度最小 C. 异面直线与所成的角为60° D. 平面 11. 已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，，交于点，点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 12. 已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2023 二、填空题（每题5分，满分20分．） 13. 的展开式中的项系数为___________； 14. 已知四边形是边长为2的正方形，若，且为的中点，则______． 15. 经过点以及圆与交点的圆的方程为______． 16. 已知函数，若有两个不同的极值点，且，则的取值范围为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：每题12分，共60分． 17. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和． 18. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，，分别为，的中点． （1）若点是线段上的点，且，判断点是否在平面内，并证明你的结论； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响． （1）设甲队踢了5球，为射进点球的个数，求的分布列与期望； （2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率． 20. 已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求椭圆方程； （2）设不过点的直线与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线的斜率为定值． 21. 已知函数，． （1）求的单调区间与最值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，在答题卷上将所