7.4.2 超几何分布-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.2 超几何分布 问题1 已知100件产品中有8件次品 , 分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件 . 设抽取的 4 件产品中次品数为X , 求随机变量X的分布列. 我们知道, 如果采用有放回抽样, 则每次抽到次品的概率为0.08 , 且各次抽样的结果相互独立 , 此时X服从二项分布, 即X～B(4，0.08). 思考? 如果采用不放回抽样 , 那么抽到4件产品中次品数X是否也服从二项分布? 如果不服从，那么X的分布列是什么? 采用不放回抽样 , 虽然每次抽到次品的概率都是0.08 , 但每次抽取不是同一个试验 , 而且各次抽取的结果也不独立, 不符合n重伯努利试验的特征, 因此X不服从二项分布. 可以根据古典概型求X的分布列 . 由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4. 从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的. 其中4件产品中恰有k件次品的结果数为 . 由古典概型的知识，得X的分布列为 计算的具体结果（精确到0.00001）如表所示. X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 一般地 , 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数 , 则X的分布列为 其中n，M，N∈N*，m＝max{0，n-N+M}，r=min{n , M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式, 那么称随机变量X服从超几何分布. 公式中字母的含义: N—总体中的个体总数; M—总体中的特殊个体总数(如次品总数); n—样本容量; k—样本中的特殊个体数(如次品数). 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 解: 设X表示选出的5名数学中含甲的人数(只能取0或1), 则X服从超几何分布 , 且N=50 , M=1 , n=5 , 因此甲被选中的概率为 容易发现，每个人被抽到的概率都是. 这个结论非常直观，这里给出了严格的推导. 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 解: 设抽取的10个零件中不合格品数为X , 则X服从超几何分布 , 且N=30 , M=3 , n=10, X的分布列为 至少有1件不合格的概率为 P(X ≥1)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 解: 设抽取的10个零件中不合格品数为X , 则X服从超几何分布 , 且N=30 , M=3 , n=10, X的分布列为 至少有1件不合格的概率为 P(X ≥1)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.7192. P(X≥1)=1−P(X=0) 也可以按如下方法求解： 探究！服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 设随机变量X服从超几何分布 , 则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数 . 令p= ，则p是N件产品的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率. 我们猜想E()=p，即 E(X)=np. 实际上，令m＝max{0，n-N+M}，r=min{n , M} , 由随机变量均值的定义： 当m>0时， 我们猜想E()=p，即 E(X)=np. 实际上，令m＝max{0，n-N+M}，r=min{n , M} , 由随机变量均值的定义： 当m>0时， 当m＝0时，注意到上式中间求和的第一项为0 ,类似可以证明结论依然成立. 例6 一袋中有100个大小相同的小球, 其中有40个黄球、60个白球，从中随机摸出20个球作为样本 . 用X表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2)分别就有放回和不放回摸球, 用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验，摸出20个球，采用有放回摸球，各次实验结果相互独立，X~B(20，40); 而采用不放回摸球，各次实验结果不独立，X服从几何分布. 例6 一袋中有100个大小相同的小球, 其中有40个黄球、60个白球，从中