7.4.1 二项分布-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4 二项分布与超几何分布 7.4 .1二项分布 前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将 利用这些知识研究两类重要的概率模型---二项分布与超几 何分布. 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果 . 例如, 检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等 . 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验 . 显然, n重伯努利试验具有如下共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立. “重复” 意味着各次实验成功的概率相同. 思考? 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验? 如果是, 那么其中的伯努利试验是什么? 对于每个试验, 定义“成功”的事件为A, 那么A的概率是多大? 重复试验的次数是多少? 1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次. 2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. 3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 随机 试验 是否为n重伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数 1 2 3 是 是 是 抛掷一枚质地均匀的硬币 某飞碟运动员进行射击 从一批产品中随机抽取一件 0.5 0.8 0.95 10 3 20 在伯努利试验中, 我们关注某个事件A是否发生 ; 而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X. 进一步地 , 因为X是一个离散型随机变量 , 所以我们实际关心的是它的概率分布列 . 例如 , 对产品抽样检验 , 随机抽取n件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列. 探究！某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8 . 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果： 实验结果 X的值 由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果 , 它们两两互斥 , 每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得 为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011, 110, 101, 这三个结果发生的概率都相等, 均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关. 因此 , 3次射击恰好2次中靶的概率为×0.82×0.2 . 同理可求中靶0次 , 1次 , 3次的概率. 于是，中靶次数X的分布列为： 思考? 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列. (1)表示中靶次数X等于2的结果有： (2)中靶次数X的分布列为： 一般地，在n重伯努利试验中, 设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n, p). 对比二项分布和二项式定理，他们之间有什么联系吗? 如果把p看成b，1-p看成a，则×pk×(1-p)n-k 就是二项式[(1-p)+p]n的展开式的通项，所以称为二项分布. 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 分析: 抛掷一枚质地均匀的硬币, 出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等 , 这是一个10重伯努利试验, 因此, 正面朝上的次数服从二项分布. 解：设A=“正面朝上”, 则P(A）=0.5. 用X表示事件A发生的次数，X~B(10, 0.5). (1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 解：设A=“正面朝上”, 则P(A）=0.5. 用X表示事件A发生的次数，X~B(10, 0.5). (1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是 (2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6, 于是 例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放