7.3.2 离散型随机变量的方差-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.2离散型随机变量的方差 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 如何评价这两名同学的射击水平？ 问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示： X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， E(X)= 8 ; E(Y)=8 因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 如何评价这两名同学的射击水平？ 问题2 甲、乙中标靶的环数X和Y的分布列如下表： X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， E(X)= 8 ; E(Y)=8 左图和右图分别是X和Y的概率分布图： O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 通过计算可得， E(X)= 8 ; E(Y)=8 左图和右图分别是X和Y的概率分布图： 比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 思考? 怎样定量刻画随机变量取值的离散程度？ 如何评价这两名同学的射击水平？ 我们知道 , 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度 , 它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的, 一个自然的想法是, 随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的偏差平方的平均值来度量呢? 设离散型随机变量X的分布列如表所示. X x1 x2 ∙∙∙ xn P p1 p2 ∙∙∙ pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X) )2 , (x2－E(X) )2, …, (xn－E(X) )2 . 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来衡量随机变量X取值与其均值E(X) 的偏离程度. 我们称 D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2 + …+ (xn－E(X))2pn 为随机变量X 的方差 , 有时也记为Var(X) , 为随机变量X的标准差, 记为σ(X)． 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度, 反映了随机变量取值的离散程度, 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为: 因为D(Y)<D(X)(等价地, <) , 所以随机变量Y的取值相对更集中, 即乙同学的射击成绩相对更稳定. 在方差计算中, 利用下面的结论经常可以使计算简化. 方差描述随机变量取值的离散程度 , 了解方差的性质 , 除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质. 探究！离散型随机变量X加上一个常数, 方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数, 方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量X加上一个常数b, 其均值也相应加上常数b, 故不改变X与其均值的离散程度, 方差保持不变, 即 D(X+b)= D(X). 而离散型随机变量X乘以一个常数a , 其方差变为原方差的a2倍，即 一般地，可以证明下面的结论成立： D(aX)= a2D(X). D(aX+b)=a2D(X). 例5 抛掷一枚质地均匀的骰子, 求掷出的点数X的方差. 例6 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示： 收益X/元