7.1.1 条件概率-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机实验的规律，本章我们还将把随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念. 第七章 随机变量及其分布 概率是随机事件发生可能性大小的度量 . 在必修课程的概率学习中，我们结合古典概型，研究了简单随机事件及其概率的计算方法，并讨论了概率的一些性质 . 本章将在此基础上，结合古典概型，研究随机事件的条件概率，建立概率的乘法公式和全概率公式，并用它们计算较复杂事件的概率. 对离散型随机变量，我们主要研究其分布列及数字特征，并对二项分布、超几何分布进行重点研究 . 对于连续型随机变量，我们只研究服从正态分布的情况 . 通过用随机变量描述和分析随机试验, 解决一些简单的实际问题, 进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点. 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手. 在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题. 当事件A与B相互独立时，有 P(AB)=P(A)P(B). 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 在班级里随机选择一人做代表： (1)选到男生的概率是多少？ (2)如果已知选到的是团员, 那么 选到的是男生的概率是多少？ 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 随机选择一人做代表, 则样本空间Ω包含45个等可能的样本点 . 用A表示事件“选到团员”, B表示事件“选到男生”, 根据表中的数据可以得出, n(Ω)=45, n (A)=30, n(B)=25. (1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率 问题1：某个班级有45名学生，在班级里随机选择一人做代表：(2)如果已知选到的是 团员, 那么选到的是男生的概率 是多少？ (2)“在选到团员的条件下， 选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A). 此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16 . 根据古典概型知识可知， 基础预习初探 问题2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭 . 随机选择一个家庭 , 那么： (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 观察两个小孩的性别, 用b表示男孩, g表示女孩, 则样本空间Ω ={bb，bg，gb，gg}, 且所有样本点是等可能的. 用A表示事件“选择的家庭中有女孩”, B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”, 则A={bg，gb，gg}，B={gg}. (1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率 基础预习初探 问题2: (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 则样本空间Ω ={bb，bg，gb，gg}, 用A表示事件“选择的家庭中有女孩”, B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”, 则A={bg，gb，gg}，B={gg}. (2)“在选择的家庭有女孩的条件下 , 两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下 , 事件B发生”的概率 , 记为P(B|A) . 此时A成为样本空间 , 事件B就是积事件AB . 根据古典概型知识可知， 基础预习初探 在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 这个结论对于一般的古典概型仍然成立. 事实上, 如下图所示, 若已知事件A发生, 则A成为样本空间. 此时, 事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值, 即 AB A B Ω 所以 , 在事件A发生的条件下 , 事件B发生的概率还可以通过P (B|A)=来计算. 一般地, 设A, B为两个随机事件, 且P(A)>0, 我们称 为在事件A发生的条件下, 事件B发生的条件概率，简称条件概率. 探究！在问题1和问题2中, 都有P(B|A)≠P(B) . 一般地， P(B|A)与P(B)不一定相等. 如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？ 直观上看, 当事件A与B相互独立时, 事件A发生与否