7.1.1 条件概率-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.1 条件概率 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系，能计算简单的随机事件的条件概率. 通过本节课的学习，要求会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题. 课前预习 预习条件概率 1．条件概率的定义 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为 概率，记作 2．条件概率公式 (1)当P(B)＞0时，有P(A|B)＝. (2)当P(A)＞0时，有P(B|A)＝. (3)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率． 3．条件概率的性质 设A，B，C都是事件且P(A)＞0. (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝1； (3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝ 知识讲解 知识点 条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝（变形） (P(A)>0)． 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝. (2)条件概率具有的性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． ③设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）. 2.条件概率的3种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ . 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 【特别注意】1．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． （5）P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)． （6）求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解． 【大招总结】 大招1 条件概率的定义及计算 1、利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 2、利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 大招2概率的乘法公式 概率的乘法公式 (1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想． (2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0. 大招3 条件概率的性质及应用 条件概率的性质及应用 (1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． 典型例题 题型01条件概率的定义及计算 【例1】将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数互不相同”，B＝“出现一个5点”，则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝＝. 故选A 【变式】某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B