“四翼”检测评价（十六） 余弦定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（十六） 余弦定理 (一)基础落实 1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为(　　) A．52　　　　　　　　 B．2 C．16 D．4 解析：选B　设第三条边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2. 2．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则(　　) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° 解析：选AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°，故选A、D. 3.某学校体育馆的“人”字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC＝4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　) A．12 m B．8 m C．2 m D．4 m 解析：选D　因为△ABC是等腰三角形，所以BC＝AC＝4 m，∠B＝∠A＝30°，所以∠C＝120°，由余弦定理得，AB＝＝4(m)．故选D. 4．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选C　由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9， 所以c＝3，故a最大， 所以最大角的余弦值为 cos A＝＝＝－. 5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1，则边AB的长为(　　) A．10 B. C. D．5 解析：选B　由题意得 ∵cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－， ∴AB2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10， ∴AB＝. 6．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________. 解析：由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－2abcos C， 所以3＝a2＋1－2a×1×cos ， 即a2＋a－2＝0. 解得a＝1或a＝－2(舍去)． 所以a＝1. 答案：1 7．边长分别为1，，2的三角形的最大角与最小角的和是________． 解析：由题意可得，边长为的边对的角不是最大角，也不是最小角，设边长为的边所对的角为θ，则由余弦定理可得cos θ＝＝，∴θ＝45°，故三角形的最大角与最小角的和是180°－45°＝135°. 答案：135° 8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________． 解析：由余弦定理，可得 cos A＝＝＝， 又0<A<π，所以A＝， 所以sin A＝. 则AC边上的高为h＝ABsin A＝3×＝. 答案：　 9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝3，B＝30°，解此三角形． 解：由b2＝a2＋c2－2accos B，可得()2＝a2＋32－2×a×3×cos 30°， 所以a2－3a＋6＝0，解得a＝或a＝2. 当a＝时，a＝b，所以A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝2时，cos A＝＝＝0，所以A＝90°，C＝60°. 10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac. (1)求cos B的值； (2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值． 解：(1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac， 所以＝，即cos B＝. (2)因为b＝，所以a＋c＝2b＝2，由(a－c)2＝b2－ac，得b2＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac， 即52－ac＝13，得ac＝12. (二)综合应用 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝，a＝4，则bc的最大值为(　　) A. B．16 C. D．32 解析：选B　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为A＝，a＝4，所以16＝b2＋c2－bc，因为b2＋c2≥2bc，所以16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立． 2．在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　) A．3 B．3 C．3 D．6 解析：选A　因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 设AB＝x，则＝2，即37＝x2＋×x×9×cos 60°＋×92， 即2x2＋9x－126＝0，解得x＝6或x＝－， 因为x>0，所以x＝6，即AB＝6， 所以BC＝ ＝ ＝3. 3．已知△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________. 解析：①若x>4，则x所对的角为钝角， ∴<0且x<3