“四翼”检测评价（十） 向量应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（十） 向量应用 (一)基础落实 1．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　) A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 解析：选BD　根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短． 2．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　) A．(9,1) 　　　　　　　 B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9) 解析：选A　f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设终点为B(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8,0)，所以所以所以终点坐标为(9,1)． 3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析：选A　∵＝(3,3)，＝(－2，－2)，∴＝－，∴与共线．又||≠||，∴该四边形为梯形． 4. 在四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(－6,2)，则该四边形的面积为(　　) A. B．2 C．5 D．10 解析：选D　∵·＝0，∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD的面积 S＝||||＝××2＝10. 5.点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：选D　∵·＝·，∴(－)·＝0，∴·＝0，∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高所在直线的交点，即垂心． 6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________． 解析：设所用时间长短为t，则＝tv，即(3,6)＝t(1,2)，所以t＝3. 答案：3 7.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图所示，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________． 解析：因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N. 答案：10 N 8．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)． 设AD＝a，则C(1, a)，＝(1，a)，＝(－1，a)． 因为AC⊥BC，所以⊥. 所以·＝－1＋a2＝0， 所以a＝1(负值舍去)，即AD＝1. 答案：1 9．已知在静水中船速为5 m/s，且知船速大于水速，河宽为20 m，船从A点垂直到达对岸的B点用的时间为5 s，试用向量法求水流的速度大小． 解：如图，设水流的速度为v水，船在静水中的速度为v0，船的实际行驶速度为v， 则|v0|＝5，|v|＝＝4. ∵v⊥v水， ∴|v水|＝＝3， 即水流的速度为3 m/s. 10.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2 ＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2， 即e·(c－d)＝0. ∵＝＋＝d－c， ∴·＝e·(d－c)＝0， ∴⊥，即AD⊥BC. (二)综合应用 1.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　) A. B．2 C．3 D．2 解析：选B　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系． 设||＝a(a>0)， 则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)， 所以＝(2，－a)，＝(4，a)． 因为⊥，所以·＝0， 所以2×4＋(－a)·a＝0， 即a2＝8. 所以a＝2，所以＝(2，－2)， 所以||＝＝2. 2.如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为________，力F做的功为________． 解析：∵|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°， ∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60° e＝25e. ∵力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移， ∴力F做的功W＝25×40＝1 000(J)． 答案：25e　1 000