“四翼”检测评价（十五） 几个三角恒等式（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（十五） 几个三角恒等式 (一)基础落实 1．已知cos α＝，α∈，则sin等于(　　) A.　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：选A　∵α∈，∈， ∴sin＝＝. 2．下列各式与tan α相等的是(　　) A. B. C. D. 解析：选D　＝＝＝tan α. 3．已知x∈且cos 2x＝，则cos x的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：选A　由cos 2x＝2cos2x－1＝得，cos2x＝， 又由x∈可得cos x<0， 所以cos x＝－. 4．2＋＝(　　) A．2sin 2－4cos 2 B．－2sin 2－4cos 2 C．－2sin 2 D．4cos 2－2sin 2 解析：选A　2＋ ＝2＋ ＝2sin 2－2cos 2－2cos 2 ＝2sin 2－4cos 2. 5．在△ABC中，sin C＝，则此三角形的形状是(　　) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C　∵C＝π－(A＋B)， ∴sin C＝sin(A＋B)＝， ∴2sincos ＝， ∴2cos2＝1，即cos(A＋B)＝0， ∴A＋B＝，∴C＝. 故此三角形为直角三角形． 6．已知180°<α<270°且sin(α＋270°)＝，则sin＝________，tan＝________. 解析：∵sin(α＋270°)＝－cos α＝， ∴cos α＝－，又90°<<135°， ∴sin＝＝＝， tan＝－＝－＝－3. 答案：　－3 7．若sin－2cos＝0，则tan θ＝________. 解析：由sin－2cos＝0，得tan＝2， 则tan θ＝＝－. 答案：－ 8．化简：··＝________. 解析：原式＝·· ＝· ＝· ＝＝tan. 答案：tan 9. 求证：－tan θ·tan 2θ＝1. 证明：－tan θ·tan 2θ＝－ ＝ ＝ ＝ ＝＝1. 10．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f(x)在区间上的单调性． 解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋. 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin＋. 若0≤x≤，则≤2x＋≤. 当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增； 当<2x＋≤，即<x≤时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． (二)综合应用 1．(多选)已知4cos＝sin，则下列结论正确的是(　　) A．cos α＋sin α＝ B．α＝kπ＋ C．tan 4α＝0 D．tan α＝1 解析：选BCD　由4cos＝sin可得4cos＝－cos 2α， 即2＝－， 即2(cos α－sin α)＝－， 所以cos α－sin α＝0或cos α＋sin α＝－2， 由cos α＋sin α＝cos≥－ 可知cos α＋sin α＝－2不可能成立， 故cos α－sin α＝0，即cos α＝sin α， 所以tan α＝1，且α＝kπ＋， 故tan 4α＝0.故选B、C、D. 2．已知f(x)＝sin x(cos x－sin x)＋在的最大值是1，则m的最小值是(　　) A. B. C．－ D. 解析：选A　f(x)＝sin x(cos x－sin x)＋＝sin xcos x－sin2x＋＝sin 2x－×＋＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 因为－≤x≤m，所以－≤2x＋≤2m＋， 因为f(x)在的最大值是1， 所以2m＋≥，解得m≥， 所以m的最小值为. 3.－tan 50°＝(　　) A. B. C. D．3 解析：选A　－tan 50°＝－ ＝－＝－ ＝－＝ ＝ ＝＝. 4．已知f＝2cos xsin－sin2x＋sin xcos x. (1)求函数f的单调递增区间； (2)若x∈，求y＝f的值域． 解：(1)f＝2cos xsin－＋sin 2x ＝2cos x－＋cos 2x＋sin 2x ＝sin 2x＋＋cos 2x＋sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， 令2kπ－≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 因此，函数f的单调递增区间为，k∈Z. (2)因为x∈，－<2x＋<，则－<sin≤1， 所以－1<f≤2，因此，当x∈时，y＝f的值域为. (三)创新发展 1．已知函数f(x)＝sin－cos (ω>0)在区间上单调，且在区间[0,2π]内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是