“四翼”检测评价（十三） 两角和与差的正切（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（十三） 两角和与差的正切 (一)基础落实 1．已知角α终边过点(3,1)，则tan＝(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．－2 C．1 D. 解析：选A　因为角α终边过点(3,1)，所以tan α＝， 所以tan＝＝＝2. 2．tan 525°＝(　　) A．－2＋ B．－2－ C．2－ D．2＋ 解析：选A　tan 525°＝tan(360°＋165°)＝tan 165°＝tan(180°－15°)＝－tan 15°＝－tan(45°－30°)＝－＝－＝－2＋. 3．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于(　　) A．2 B．1 C. D．4 解析：选C　∵tan(α＋β)＝， ∴＝4， 解得tan α·tan β＝. 4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值等于(　　) A. B. C. D. 解析：选B　tan＝tan ＝＝＝. 5．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝，tan α＝， 所以tan(α＋β)＝＝＝－1. 又α＋β∈，故α＋β＝. 6．若α，β均为锐角且tan α＝7，tan β＝，则α＋β＝________. 解析：∵tan α＝7，tan β＝，∴tan(α＋β)＝＝＝－1. 又0<α<，0<β<， ∴0<α＋β<π，则α＋β＝. 答案： 7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h·tan θ.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1，θ2)，则tan(θ1＋θ2)＝________. 解析：由题意l＝h·tan θ，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时，tan θ1＝2，tan θ2＝3，所以tan(θ1＋θ2)＝＝＝－1. 答案：－1 8．(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝________. 解析：因为tan 45°＝＝1， 所以tan 25°＋tan 20°＝1－tan 20°tan 25°， 所以(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 25°＋tan 20°＋tan 20°tan 25°＝2. 答案：2 9．在①角α的终边经过点P(1,2)，②α∈，sin α＝，③α∈，sin α＋2cos α＝.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题：已知________，且tan(α＋β)＝4，求tan β的值． 解：选择条件①. ∵角α的终边经过点P(1,2)，∴tan α＝2， 则tan(α＋β)＝＝＝4， 解得tan β＝. 选择条件②. ∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝＝， ∴tan α＝＝， 则tan(α＋β)＝＝＝4， 解得tan β＝. 选择条件③. ∵α∈，sin α＋2cos α＝， 由sin2α＋cos2α＝1， 则可得sin α＝，cos α＝， ∴tan α＝＝3， 则tan(α＋β)＝＝＝4， 解得tan β＝. 10．已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝.且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状． 解：∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1， ∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1. ∴＝－. ∴tan(A＋B)＝－. 又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝. ∴C＝. ∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝， ∴tan B＋＋tan B＝. ∴tan B＝. ∴B＝. ∴A＝，∴△ABC为等腰三角形． (二)综合应用 1．已知A，B，C为△ABC的三个内角，且角A为锐角，若tan B＝2tan A，则＋的最小值为(　　) A. B. C. D．1 解析：选C　∵在△ABC中，tan C＝－tan(A＋B)， ∴＋＝－ ＝－， ∵tan B＝2tan A， ∴－＝－＝＋， ∵角A为锐角，∴tan A>0， ∴＋≥2 ＝， 当且仅当＝， 即tan A＝时，等号成立， ∴＋的最小值为. 2．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________. 解析：由条件知＝＝3， 则tan α＝2，因为tan(α－β)＝2， 所以tan(β－α)＝－2. 故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝. 答案： 3．设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝__