“四翼”检测评价（十七） 余弦定理的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（十七） 余弦定理的应用 (一)基础落实 1．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形　　　　　　　　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 解析：选B　因为sin2＝＝， 所以cos A＝＝， 即a2＋b2＝c2，符合勾股定理. 故△ABC为直角三角形． 2．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 解析：选B　在△ABC中，∵a＝3，b＝5，c＝， ∴最大角为B，最小角为A， ∴cos C＝＝＝，∴C＝60°， ∴A＋B＝120°， ∴△ABC中的最大角与最小角的和为120°. 故选B. 3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：选C　设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a. ∴cos A＝＝＝－.故选C. 4．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是(　　) A．1<x< B.<x< C．1<x<2 D．2<x<2 解析：选D　由题意可知三个内角的余弦值都大于0，从而解得2<x<2. 5.如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里，则乙船每小时航行(　　) A．10 海里 B．20 海里 C．30海里 D．30 海里 解析：选D　如图，连接A1B2， 在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°， 又易求得A1A2＝30×＝10＝A2B2， ∴△A1A2B2为正三角形， ∴A1B2＝10. 在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°， ∴B1B＝400＋200－2×20×10×＝200， ∴B1B2＝10， ∴乙船每小时航行30海里． 6．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是________． 解析：∵b2＝ac，B＝60°， ∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c. 又B＝60°，∴△ABC为等边三角形． 答案：等边三角形 7.如图，△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________． 解析：∵sin∠BAC＝sin＝cos∠BAD＝，∴根据余弦定理可得cos∠BAD＝， ∴＝，∴BD＝. 答案： 8.在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，求BD的长． 解：由余弦定理得， AB2＝BD2＋AD2－2AD·BDcos 135°， AC2＝CD2＋AD2－2AD·CDcos 45°， 即AB2＝BD2＋2＋2BD，① AC2＝CD2＋2－2CD，② 又BC＝3BD，∴CD＝2BD， ∴AC2＝4BD2＋2－4BD.③ 又AC＝AB， ∴由③得2AB2＝4BD2＋2－4BD.④ ④－2×①得，BD2－4BD－1＝0，∴BD＝2＋. 9．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状． 解：由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝， 代入已知条件，得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形． (二)综合应用 1．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是(　　) A．8 B．16 C．18 D．32 解析：选B　在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝65，即AB2＋AD2－2AB·AD·cos B＝65，① 在△ABD中， BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝17，② 又cos A＋cos B＝0. ①＋②得AB2＋AD2＝41, 又AB＋AD＝9， ∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5. ∴cos A＝，A∈，∴sin A＝， ∴这个平行四边形的面积S＝5×4×＝16. 2.如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为