11.1 第一课时 余弦定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第11章 解三角形 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．了解余弦定理的推导过程． 2．掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题． 重点 难点 重点：掌握余弦定理及其变式． 难点：掌握余弦定理的综合应用. 11.1　余弦定理 1．余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 第一课时　余弦定理 平方 余弦的积 b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 2．解三角形 我们把三角形的_______和_______叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 三个角 三条边 1．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2．余弦定理的另外一种常见变式 2bccos A＝b2＋c2－a2， 2accos B＝a2＋c2－b2， 2abcos C＝a2＋b2－c2. 3．余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． 2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于 (　　) A．60° B．45° C．120° D．30° 答案：C 3. 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________. 4．已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？ 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．　　 [对点训练] 1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小． 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，一般是利用余弦定理的变形式进行边、角互化．　　 一、在典题训练中内化学科素养 本节重点考查对余弦定理的直接运用，主要涉及一些含有角和边的代数式的变形问题及运用余弦定理等知识解决有关三角形的问题，往往会与三角恒等变换和计算问题相结合，主要考查数学运算、逻辑推理、直观想象的素养． 逻辑 推理 考查二倍角公式及余弦定理的综合应用，主要利用二倍角公式对角进行转化，从而求出角C的余弦值，然后应用余弦定理求边长 数学 运算 考查余弦定理在解三角形中的应用，注意余弦定理的正用、逆用及角的范围 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为 (　　) A．7.5 B．7 C．6 D．5 答案：D “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价(十六) (单击进入电子文档) 37 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边_____的和减去这两边与它们夹角的__________的两倍 公式 表达 a2＝__________________，b2＝__________________，c2＝__________________ 变式 cos A＝______________，cos B＝___________， cos C＝___________ 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq \r(3)，C＝150°，则c等于 (　　) A．eq \r(39)　　　　　　　 B．8eq \r(3) C．10eq \r(2) D．7eq \r(3) 解析：由余弦定理得， c＝eq \r(92＋2\r(3)2－2×9×2\r(3)×cos 150°)＝eq \r(147)＝7eq \r(3). 答案：D 解析：由cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，且0°<A<180°，得A＝120°. 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) 提示：由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2abcos C，c唯一，cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，因为0＜B＜π，所以B唯一，从而A也唯一．所以三角形其他元素唯一确定． ———————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————————— 已知两边及一角解三角形 ————