11.1 第二课时 余弦定理的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第二课时　余弦定理的应用 余弦定理在解决实际问题中的策略 首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．　　 [对点训练] 如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是 选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200 m， 在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30° ，则塔高AB＝________m. [方法技巧]　判断三角形形状的基本思想和两条思路 基本 思想 判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化思想 两条 思路 化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式 化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式 [对点训练] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状. 解三角形广泛应用于解各种平面图形，解题时可将问题纳入三角形中去解决，理清已知条件与待求问题，再根据余弦定理建立未知量与已知量的关系式来求．　　 [对点训练] 在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M为BC的中点，且AM＝4，求BC的长． 一、在典题训练中内化学科素养 在高考中余弦定理常与平面几何图形相结合，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等素养． 直观想象 作出示意图把所求的量放入三角形中，解三角形求角 数学运算 利用余弦定理及三角形的性质解题 2．如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度组成新三角形，则新三角形的形状是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 解析：设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2.三边都增加x(x>0)，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形． 答案：A “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价(十七) (单击进入电子文档) 25 ———————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————————— 余弦定理的实际应用 ——————————————————————————————————— [典例]　一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为6eq \r(3)海里，则灯塔与轮船原来的距离为 (　　) A．6海里　　 B．12海里 C．6海里或12海里 D．6eq \r(3) 海里 [解析]　如图，设轮船原来在A处，航行20分钟后到达B处，C为灯塔的位置，根据条件可得∠BAC＝120°，AB＝18×eq \f(20,60)＝6(海里)，BC＝6eq \r(3) 海里， 由余弦定理可得cos 120°＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(36＋AC2－108,12AC)＝－eq \f(1,2)， 解得AC＝6(AC＝－12舍去)． 故灯塔与轮船原来的距离为6海里． 故选A. [答案]　A eq \a\vs4\al([方法技巧]) 解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， 若设AB＝h，则BC＝h； 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝eq \r(3) h. 在△BCD中，由余弦定理可得， CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD， 即2002＝h2＋(eq \r(3)h)2－2h·eq \r(3)h·eq \f(\r(3),2)， 所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)， 即塔高AB＝200 m. 答案：200 ———————eq \a\vs4\al([题点二])———————————————————————— 判断三角形的形状 ——————————————————————————————————— [典例]　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)，则△ABC是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 [解析]　法一：由cos2eq \f(A,2)＝eq \f(1＋cos A,2)＝eq \f(b＋c,2c)，得ccos A＝b，即有c·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝b，化简得c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形． 法二：∵cos2eq \f(A,2)＝eq \f(1＋cos A,2)，∴由余弦定理得cos