10.1.3 两角和与差的正切（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.1.3　两角和与差的正切 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明． 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用． 重点 难点 重点：两角和与差的正切公式及应用． 难点：利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 两角和与差的正切公式 (3)公式的结构特征及符号特征如下： ①公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． ② 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． [拓展] 本例的条件不变，求tan(α＋2β)的值． (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． [典例]　△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状． 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围．　　 一、在典题训练中内化学科素养 高考对两角和与差正切公式的考查主要是利用公式求值，有时与诱导公式综合命题，体现数学运算的核心素养． 利用两角和与差的正切公式求值时，注意应用函数与方程的思想方法求解，注意角的变换与转化．　　 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价(十三) (单击进入电子文档) 30 名称 公式 简记符号 条件 两角和的 正切公式 tan(α＋β)＝ ______________ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 两角差的 正切公式 tan(α－β) ＝ ______________ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的． (2)公式T(α－β)也可以这样推导： 当cos(α－β)≠0时，tan(α－β)＝eq \f(sinα－β,cosα－β)＝eq \f(sin αcos β－cos αsin β,cos αcos β＋sin αsin β). 若cos αcos β≠0，则将上式的分子、分母都除以cos α·cos β，得tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β). 1．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于 (　　) A．－3　　　 B．3 C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3) 答案：D　 2．tan 195°等于 (　　) A．－2－eq \r(3) B．－2＋eq \r(3) C．2－eq \r(3) D．2＋eq \r(3) 答案：C 3. eq \f(tan 51°＋tan 9°,1－tan 51°tan 9°)等于 (　　) A．－eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \r(3) D．－eq \r(3) 答案：C ———————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————————— 化简求值 ——————————————————————————————————— [典例]　化简下列各式： (1)eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)； (2)tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°·tan 40°； (3)tan θ＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＋tan θ·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)). [解]　(1)原式＝eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 45°·tan 15°)＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3). (2)原式＝tan(20°＋40°)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan 20°·tan 40°))＋eq \r(3)tan 20°·tan 40° ＝eq \r(3)－eq \